Probablemente esté pensando en el siguiente tipo de fenómeno:
Ejemplo. Dejemos que $X = \mathbb A_k^1$ y considerar el sitio anillado $((\operatorname{\underline{Sch}}/X)_{\text{fppf}},\mathcal O)$ , donde $\mathcal O$ es la gavilla cuyo valor en $T \in \operatorname{\underline{Sch}}/X$ es $\Gamma(T,\mathcal O_T)$ . El functor de retroceso $$\operatorname{\underline{Qcoh}}(\mathcal O_X) \to \operatorname{\underline{Qcoh}}((\operatorname{\underline{Sch}}/X)_{\text{fppf}},\mathcal O)$$ es una equivalencia de categorías por un argumento de descenso estándar [ Etiqueta 03DX ]. Por lo tanto, como ya indicó por su notación, $\operatorname{\underline{Qcoh}}(X)$ no depende del sitio en este caso.
Sin embargo, si tomamos una inyección de cuasi-coherente $\mathcal O_X$ -módulos como $\mathcal O_X \stackrel{x}\to \mathcal O_X$ y retroceder a lo largo del morfismo $\operatorname{Spec} k = \{0\} \to \mathbb A^1_k$ obtenemos el mapa $k \stackrel 0 \to k$ . Esto no es inyectivo.
Dado que la inyectividad de un morfismo de eslabones $\mathscr F \to \mathscr G$ en un sitio anillado $\mathscr C$ significa que para cada $U \in \mathscr C$ el mapa $\mathscr F(U) \to \mathscr G(U)$ es inyectiva, vemos que el mapa $\mathcal O_X \stackrel x \to \mathcal O_X$ no es inyectiva como mapa de $\mathcal O$ -módulos en $(\operatorname{\underline{Sch}}/X)_{\text{fppf}}$ .
