Aniquilador de un aniquilador

Question

Sea X un espacio normado y X' el espacio dual de X. El aniquilador de un subespacio vectorial $M\subset X$ se define por: $$M^{\perp}:=\{f\in X'|f(y)=0 \forall y\in M\}\subset X'$$ Es $N\subset X'$ un subconjunto vectorial de un espacio dual, entonces el aniquilador de N en X se define por: $$N^\perp:=\{x\in X|f(x)=0 \forall \in N\}\subset X$$ Mostrar: i) $(M^\perp)^\perp=\overline M$ ii) $\overline N\subset (N^\perp)^\perp$

He encontrado la siguiente prueba en Internet, pero tengo algunas dificultades para entender la notación:

1) $(A^\perp)^\perp$ es un tramo cerrado de A

2) $(B^\perp)^\perp$ es un tramo cerrado débil* de B

1)Sabemos que $A\subset (A^\perp)^\perp$ y $(A^\perp)^\perp$ es un subespacio cerrado. Dado que $\overline{span}$ A es el subespacio cerrado más pequeño que contiene a A, basta con demostrar que $(A^\perp)^\perp \subset\overline{span}A$ . Supongamos que no, y elija $x\in (A^\perp)^\perp/\overline{span}A$ . Entonces, como $\overline{span}A$ es un subespacio cerrado, por el Teorema de Hahn-Banach podemos elegir $f\in X'$ tal que $f(x)\neq0$ y $f(y)=0$ para todos $y\in\overline{span}A$ . En particular, $f(y)=0$ para todos $y\in A$ Así que $f\in A^\perp$ . Desde $f(x)\neq0$ tenemos $x\notin(A^\perp)^\perp$ Y esto es una contradicción.

¿Qué es exactamente el tramo cerrado de A? He intentado buscarlo en Google pero no he encontrado mucho. Lo mismo con el tramo cerrado débil*. Es $\overline{span}$ ¿el tramo cerrado?. ¿Cómo utilizamos exactamente el Teorema de Hahn-Banach para encontrar esta f? ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Para ver que $(A^\perp)^\perp$ es un subespacio cerrado, observe que si $A \subset X$ entonces $A^\perp \subset X'$ y $(A^\perp)^\perp = \bigcap_{f \in A^\perp} f^{-1}(0)$ . Porque cualquier $f \in X'$ es continua, tenemos que $f^{-1}(0)$ cerrado. Porque $(A^\perp)^\perp$ es una intersección de conjuntos cerrados, $(A^\perp)^\perp$ también está cerrado.

Dejemos que $M = \overline{\text{span}}$ y supongamos $x \not \in M $ . Consideremos ahora el espacio normado $X/M$ y la proyección natural $\pi: X \to X/M$ . Entonces toma $V = \{ \alpha (x+M) \mid \alpha \in \mathbb{C}\} \subset X/M$ . Tenga en cuenta que $\|x+M\| >0$ por lo que podemos definir una función $g:V \to \mathbb{C}: \alpha(x+M) \mapsto \alpha \|x+M\|$ . Tenga en cuenta que $\|g\| =1$ . Ahora amplía $g$ por el teorema de Hahn Banach a $g:X/M \to \mathbb{C}$ . Finalmente podemos definir $f = \frac{1}{\|x+M\|} g \circ \pi$ . Observe que $\pi(y) = 0$ para todos $y \in M$ así que $f(y) = 0$ para todos $y \in M$ . Pero $f(x) = 1$ por la construcción.

Obsérvese que esto es realmente la prueba del siguiente bonito corolario del teorema de Hahn Banach:

Si $X$ es un espacio normado, $M$ un subespacio lineal cerrado de $X$ , $x \in X\setminus M$ y $d = \text{dist}(x_0, M)$ entonces hay un $f \in X^*$ tal que $f(x)=1$ , $f(y) =0$ para todos $y \in M$ y $\|f\| = d^{-1}$ .

Si por casualidad no has encontrado este corolario, te aconsejo que lo busques. Es bastante útil.