Simplifique $\langle \operatorname{Ind}^G_1 1, \operatorname{Ind}^G_H\phi\rangle_G$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito y $H$ un subgrupo. Sea $\phi$ sea un carácter irreducible de $H$ y $\mathbb 1$ el carácter trivial del subgrupo trivial $1$ . Dejemos que $\langle,\rangle_G$ sea el producto interno habitual de los caracteres de $G$ .

Estoy tratando de simplificar el producto interno $\langle \operatorname{Ind}^G_1 \mathbb 1, \operatorname{Ind}^G_H\phi\rangle_G$ donde $\operatorname{Ind}$ es la inducción de caracteres.

Por reciprocidad de Frobenius esto es igual a $\langle 1, \operatorname{Res^G_1 \operatorname{Ind}^G_H\phi}\rangle_1$ .

Mi pregunta es

¿Esto simplifica a $[G:H]\phi(1)$ ?

¿Tendría que utilizar uno de los teoremas de Mackey para seguir adelante?

Muchas gracias.

Answer 1

Con la ayuda de los comentarios de Tobias Kildetoft, creo que ahora puedo dar una respuesta a mi pregunta.

Recordemos que $\operatorname{Ind}^G_1 1$ es de hecho el carácter regular de $G$ y así $\operatorname{Ind}^G_1 1=\sum_\chi \chi(1) \chi $ donde la suma se realiza sobre todos los irreducible caracteres de $G$ .

Por lo tanto, tenemos $\langle\operatorname{Ind}^G_11, \operatorname{Ind}^G_H \phi\rangle_G= \sum_\chi\langle\chi,\operatorname{Ind}^G_H\phi\rangle_G\chi(1)=(\operatorname{Ind}^G_H\phi)(1)=[G:H]\phi(1)$ .

No fue necesario utilizar la reciprocidad de Frobenius ni ninguno de los teoremas de Mackey.