¿La función integrable tiene una gráfica que es un conjunto nulo?

Question

Me piden en un ejercicio que demuestre que toda función real integrable $f : R \rightarrow R$ en un intervalo $[a,b]$ tiene un gráfico que es un conjunto nulo. ¡Agradecería alguna ayuda con esto!

Más información: Integrable significa aquí integrable de Darboux/Riemann. Esta no es una pregunta de teoría de la medida y no estoy familiarizado con los resultados y teoremas de la teoría de la medida.

Ya hemos demostrado que si f es continua, su gráfica será un conjunto nulo. Estaba tratando de generalizar las ideas de esa prueba a esta prueba pero aún no lo he conseguido... Realmente no tengo ni idea de cómo enfocar esto.

¡Muchas gracias!

Answer 1

( Nota: Asumo que por debajo de eso $f$ está acotada; la integrabilidad de Riemann suele considerarse sólo para funciones acotadas, por lo que no es una suposición poco razonable).

Dada una función $f$ , un intervalo $[a,b]$ y una partición $P$ de $[a,b]$ , denotémoslo por $\overline{S}(f,P)$ la suma superior de Riemann de $f$ en $[a,b]$ en relación con la partición $P$ es decir, consideramos $$\overline{S}(f,P) = \sum_{i=1}^{n}s_{i}\Delta_i$$ donde $a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b$ es la partición, $s_i$ es la suma de los valores de $f(x)$ en $[x_{i-1},x_i]$ y $\Delta_i=x_i-x_{i-1}$ . Del mismo modo, dejemos que $\underline{S}(f,P)$ sea la suma inferior de Riemann de $f$ en $[a,b]$ en relación con la partición $P$ Es decir $$\underline{S}(f,P) = \sum_{i=1}^n m_i\Delta_i$$ donde $m_i$ es el mínimo de los valores de $f$ en $[x_{i-1},x_i]$ .

$f$ es integrable en $[a,b]$ si y sólo si está acotado, y para cualquier secuencia de particiones $P_n$ de $[a,b]$ de tal manera que el tamaño de la malla $\lVert P_n\rVert\to 0$ como $n\to\infty$ tenemos $$\lim_{n\to\infty}\underline{S}(f,P_n) = \lim_{n\to\infty}\overline{S}(f,P_n),$$ o, por el contrario, si $$\lim_{n\to\infty}\Bigl( \overline{S}(f,P_n) - \underline{S}(f,P_n)\Bigr) = 0.$$

Ahora piensa en lo que $\overline{S}(f,P_n) - \underline{S}(f,P_n)$ representa. En cualquier subintervalo de la partición $[x_i,x_{i+1}]$ Estamos tomando $\bigl(s_i - m_i\bigr)\Delta_i$ . Ahora, $\Delta_i$ es la longitud del intervalo; $s_i$ es el sumo de los valores que toma la función, y $m_i$ es el valor mínimo que toma la función. Esto significa que la gráfica de la función en este intervalo está contenida en el rectángulo $[x_i,x_{i+1}]\times[m_i,s_i]$ que tiene exactamente el área $\bigl(s_i-m_i\bigr)\Delta_i$ . Es decir, la diferencia entre $\overline{S}(f,P_n)$ y $\underline{S}(f,P_n)$ puede interpretarse como la suma de las áreas de una colección de rectángulos que contiene la gráfica de $y=f(x)$ .

¿Puedes llevarlo desde aquí? (Tenga en cuenta que lo anterior no depende en absoluto de si $f$ es positivo, negativo, caótico, continuo o no; sólo en el hecho de que esté acotado y sea integrable).