¿Cómo encontrar el área de la región delimitada por varias curvas?

Question

Halla el área de la región delimitada por las curvas $y=x^2$ y $y=x$ .

Encuentra el área de la región delimitada por las curvas $y=x^2+1$ y $y=2$

Tengo un montón de preguntas como esta y he estado graficándolas y luego dividiéndolas en intervalos y sumándolas, pero esto me está dando una respuesta que está un poco fuera de lugar y está tomando para siempre.... ¿hay una manera más rápida? También estoy atascado en $y=x^2+1$ y $y=2$ porque no sé qué región quieren veo $y=2$ como una línea que cruza $x^2+1$ cuando lo grafique.

Answer 1

HINT Preguntan por la zona de la región amarilla:

Las áreas estarían dadas por las integrales $\int_{x_1}^{x_2} \left(y_\text{top}(x) - y_\text{bottom}(x)\right) \mathrm{d} x$ con la elección adecuada de los límites $x_1$ y $x_2$ y funciones $y_\text{top}(x)$ y $y_\text{bottom}(x)$ .

Answer 2

La forma más rápida de encontrar el área es utilizar la integración. El área es el resultado de la integral definida de la diferencia entre las dos funciones.

La zona delimitada por $y=x^2+1$ y $y=2$ se muestra a continuación:

Es el área entre la curva y la línea de rumbo.

En primer lugar, tenemos 2 puntos que necesitamos encontrar. Los puntos son los de la intersección de la recta y la curva. Puedes encontrar los puntos resolviendo la ecuación:

$y=x^2+1$ y $y=2$ .

Usted obtiene

$y=x^2+1=2$ y esto te da los puntos:

$(-1,2)$ y $(1,2)$ .

El área A es:

$A=\int_{x=-1}^{x=1} 2-(x^2+1) dx =4/3$ .