conjuntos cerrados y escasos

Question

Un escaso subconjunto cerrado de $[0,1]$ es contable u homeomorfo al conjunto de Cantor: en cualquier caso es $0$ -dimensional.

Q.1. ¿Es todo subconjunto cerrado de un $n$ -espacio Hausdorff localmente compacto de dimensión $\le n-1$ (para $n\ge 1$ )?

Q.2. Si es así, ¿hay algo inusual en los escasos conjuntos en $0$ -¿espacios de dimensión infinita en los que los conjuntos cerrados de escasos recursos pueden tener una dimensión igual a la de todo el espacio (se podría pensar que los conjuntos de escasos recursos podrían ser "más gordos" en algún sentido en estos casos)?

Q.3. ¿Existe un ejemplo sencillo de subconjunto cerrado incontable del conjunto de Cantor?

Answer 1

Q1. La respuesta es NO.

Toma $\mathbb R$ y adjuntar a cada punto racional $p/q$ un segmento de longitud $1/q$ . Se obtiene un espacio métrico unidimensional localmente compacto $M$ . El conjunto $\mathbb R$ forma un subconjunto cerrado y escaso en $M$ .

Answer 2

Para la Q3, la respuesta es sí. Piensa que el conjunto de Cantor está formado por los puntos que tienen una expansión de base 3 que sólo contiene 0 y 2. Ahora toma el subconjunto de esos puntos donde los 2's ocurren sólo en posiciones pares.

Además, en la primera frase, "ya sea contable u homeomorfo al conjunto de Cantor" no es correcto; podría ser la unión de un conjunto contable y una copia del conjunto de Cantor. No obstante, seguiría siendo de 0 dimensiones.

Answer 3

Por cierto, su pregunta 1 es verdadera para las variedades n-dimensionales (ya que es verdadera para $\mathbb{R}^n$ por el teorema de Menger y Urysohn).

Obsérvese que la P3 también puede responderse observando que el conjunto de Cantor $C$ es homeomorfo a $C^2$ y para cada punto $x$ , { $x$ } $\times C$ es un escaso subconjunto de $C^2$ . Observa que esta construcción te da la respuesta de Andreas si x=0.