Colector Orient

Question

$\mathbf{Problem \,2.}$ Considere la $2$ -manifiesto en $\Bbb R^3$ dado por $$x^2+y^2+z^2=1,\qquad z\ge 0.$$ Oriente $M$ tal que $\alpha$ en la ecuación $(2)$ pertenece a la orientación, y da $\partial M$ la orientación inducida.

$$\alpha(u,v)=\left(u,v,\sqrt{1-u^2-v^2}\right),\qquad u^2+v^2\lt 1$$

Creo que estoy completamente perdido aquí, ¿qué implica orientar un colector una vez que tengo el parche de coordenadas?

Answer 1

Orientación del colector $M$ significa elegir una de las dos direcciones posibles para el vector normal unitario a $M$ . En su ejemplo, tenemos un 2manifold que es la superficie de una esfera en $\mathbb R^3$ es la imagen de la función $\alpha(u, v) = (u, v, \sqrt{1 - u^2 - v^2})$ es decir, $\alpha$ es una parametrización de $M$ . Puedes elegir $\hat n(u,v) = - \frac{\nabla \alpha(u,v)}{\|\nabla \alpha(u,v)\|}$ o $\hat n(u,v) = \frac{\nabla \alpha(u,v)}{\|\nabla \alpha(u,v)\|}$ para ser el vector normal unitario (en $\mathbb R^3$ ) a $M$ en $\alpha(u,v) \in M$ .