Si $\alpha, \beta$ son raíces de $x^2-3ax+a^2=0$ , encuentre el valor o los valores de $a$ si $\alpha^2+\beta^2=\frac{7}{4}$ .

Question

Si $\alpha, \beta$ son raíces de $x^2-3ax+a^2=0$ ¿Cómo se encuentra el valor de a si $\alpha^2+\beta^2=\frac{7}{4}$ .

• Intenté sustituir el $\alpha, \beta$ pero se confunde ya que es igual a $0$ .
• Trató de ampliar $\alpha^2+\beta^2$ . Aquí tampoco hay pistas.

¿Cómo se resuelve esto?

Answer 1

Las relaciones de Viète nos dan $\alpha+\beta=3a$ y $\alpha\beta=a^2$ de la que obtenemos una ecuación en $a$ : $$(3a)^2-2a^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=\alpha^2+\beta^2=\frac74$$ Esto se simplifica a $7a^2=\frac74$ o $a^2=\frac14$ De ahí que $a=\pm\frac12$ .

Answer 2

Lo sabemos: $\alpha+\beta=3a$ y $\alpha\beta=a^2$ . Ahora, $$(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=\alpha^2+\beta^2$$ Así que, $(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=(3a)^2-2a^2=\frac74$

Ahora, sólo hay que equiparar:

$7a^2=\frac74 \implies a^2=\frac14$ entonces $a=\pm\frac12$ .

Answer 3

Sin cuadrar: $${7\over 4}=\alpha^2+\beta^2 =(3a\alpha^2-a^2)+(3\beta -a^2) = 3a\underbrace{(\alpha+\beta)}_{3a}-2a^2 =7a^2$$

Así que $a=\pm{1\over 2}$ .