Por qué para una forma multilineal $w(X,Y,Z)$ basta con decir que el intercambio de $X$ y $Y$ y/respectivamente $X$ y $Z$ cambia el signo de $w$ ¿se alternan?
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Osama Ghani
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Si se considera el caso de una forma bilineal, digamos $\omega$ , tenga en cuenta que si $\omega (x,y) = - \omega(y,x)$ entonces $\omega (x,x) = - \omega (x,x) \implies \omega (x,x) = 0$ así que $\omega$ es alternativo.
Formalmente una forma multilineal es alternante si el grupo simétrico actúa sobre la forma multiplicando por el signo de la permutación. Nótese que $S_3$ se genera mediante un intercambio de los dos primeros elementos, y un intercambio del primer y último elemento. La especificación de la acción por parte de los generadores acaba especificándola para los 6 elementos de $S_3$ y puedes confirmar que coincide con la definición de una forma multilineal.
Si tienes una forma multilineal $w$ con $n$ -variables $(x_1,x_2\dots,x_n)$ , hay que comprobar que, para cada $\sigma \in S_n$ ( $S_n$ siendo el grupo simétrico) : $$w(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)}\dots,x_{\sigma(n)}))=sign(\sigma)w(x_1,x_2\dots,x_n).$$
Con $sign(\cdot)$ siendo la firma de la permutación.
Si descubres que esto es cierto para $\sigma_1,...\sigma_m$ tal que $S_n=<\sigma_1,...\sigma_m>$ entonces es cierto para cada $\sigma$ . De hecho ; $$w((x_{\sigma_1 \circ \sigma_2 (1)},x_{\sigma_1 \circ \sigma_2 (2)}\dots,x_{\sigma_1 \circ \sigma_2 (n)}))=sign(\sigma_1)sign(\sigma_2)w(x_1,x_2\dots,x_n).$$
Desde $(12)$ y $(13)$ genera $S_3$ entonces sólo hay que comprobar esas dos permutaciones si se tiene una forma trilineal.
