Dos definiciones equivalentes de una *curva convexa* utilizando la curvatura y la teoría de conjuntos

Question

He visto dos definiciones diferentes de curva convexa cerrada en un plano :

Para una curva $r\in\mathcal C^2([0,L],\mathbb R^2)$ ,

1. Toda la curva se encuentra en un solo lado de cualquier tangente de la curva

2. Toda línea recta (geodésica) que une dos puntos dentro de la región delimitada por la curva se encuentra dentro de la región. Es decir, la curva es el límite topológico de un conjunto convexo.

¿Cómo puedo demostrar que ambas definiciones son equivalentes?

Answer 1

Puede utilizar la siguiente explicación. Aquí, $\theta$ denota el ángulo desde el $x$ -eje a la tangente de la curva.

Un positivo $2\pi$ -representa la función de curvatura de una función simplemente cerrada y estrictamente convexa $C^{2}$ curva plana si y sólo si $$\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\frac{\cos \theta}{k(\theta)} \,\mathrm d\theta=\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\frac{\sin \theta}{k(\theta)} \,\mathrm d\theta =0.$$

porque si $k$ es la función de curvatura de alguna curva, entonces esta relación se deduce directamente del hecho de que la curva es cerrada, es decir, que $\int_{0}^{L} T\,\mathrm ds=0$ .

En la otra dirección: Dada una arbitraria $k$ la curva asociada, hasta la traslación, está definida por $$x(\theta)=\int_{0}^{\theta}\displaystyle\frac{\cos\eta}{k(\eta)}\,\mathrm d\eta\qquad y(\theta)=\int_{0}^{\theta}\displaystyle\frac{\sin\eta}{k(\eta)}\,\mathrm d\eta$$ Es fácil comprobar que esta curva es cerrada y simple como $x(0) = y(0) = x(2\pi) = y(2\pi) = 0$ .

Answer 2

Esto es sólo una idea. Me centro primero en tu primera afirmación. Supongamos que parametrizas r(t) por la longitud de arco con una orientación. Dado que una curva plana regular cerrada es convexa si y sólo si es simple y su curvatura no cambia de signo, se puede ver que en cualquier punto p de la curva r(t) donde la curvatura es negativa en la vecindad de p la línea tangente a r(t) en p está en el interior de r(t). Como r(t) está acotada y la tangente no, la tangente debe intersecar su curva en otro punto. Un argumento similar se aplica al considerar la segunda afirmación, es decir, una línea recta (geodésica) que une dos puntos de r(t) se encuentra dentro de la región delimitada por la curva si y sólo si la curva es simple y su curvatura no cambia de signo.