¿Puede un cardenal medible convertirse en el cardenal menos débilmente compacto en una extensión forzada?

Question

Intento establecer si es consistente que alguna propiedad se mantenga en el cardinal menos débilmente compacto. Sé que la propiedad se mantiene en los medibles.

Por lo tanto (esperando que todo lo demás vaya bien), un enfoque natural sería encontrar alguna extensión forzada en la que el cardinal medible se convierta en el menos débilmente compacto.

¿Se puede hacer esto? Dado que un cardinal medible tiene una secuencia cofinal de cardinales débilmente compactos, si tal extensión es posible, mataría necesariamente la mensurabilidad del cardinal. Una pregunta más débil es si existe una extensión forzada en la que un cardinal medible $\kappa$ en el modelo de tierra no es medible pero sigue siendo débilmente compacto en la extensión genérica?

¿Existen extensiones forzadas que maten a los cardenales débilmente compactos? Dada una solución positiva a la pregunta más débil anterior, tal vez aplicando la extensión que mata a los débilmente compactos a esa extensión, uno puede ser capaz de hacer que el cardinal sea el menos débilmente compacto. Aunque puede haber algún problema ya que en la primera extensión $\kappa$ puede seguir siendo un límite de los compactos débiles.

Gracias por cualquier información que se pueda dar.

Answer 1

La respuesta es sí. El siguiente es el teorema 5 de nuestro trabajo B. Cody, M. Gitik, J. D. Hamkins, J. Schanker El cardinal menos débilmente compacto puede ser desplegable, débilmente medible y casi $\theta$ -supercompacto , en revisión.

Teorema. (Cody, Gitik, Hamkins, Schanker) Si $\kappa$ es medible, entonces existe una extensión forzada en la que es el cardinal menos débilmente compacto, y todavía es débilmente medible.

La idea básica de la prueba es realizar una iteración en la que se eliminan todos los cardinales débiles compactos más pequeños $\delta<\kappa$ añadiendo $\delta$ -Árboles de Susa. Una fuerza con $\text{Add}(\delta,\delta^+)$ seguido por el $\delta$ -Forzamiento del árbol de Susin $\mathbb{S}_\delta$ . En la etapa $\kappa$ se utiliza $\text{Add}(\kappa,\kappa^{++})$ sin ningún tipo de $\kappa$ -Fuerza del árbol de Husillo. El resultado es que todos los compactos débiles más pequeños mueren, pero $\kappa$ sobrevive por un débil argumento de levantamiento de la compacidad. Si sólo te importa preservar la compacidad débil, entonces puedes forzar con $\text{Add}(\delta,1)*\mathbb{S}_\delta$ en cada etapa y con $\text{Add}(\kappa,\kappa^+)$ en la parte superior.

Tenemos resultados similares que muestran que el cardinal menos débilmente compacto puede ser desplegable (lo que respondía a una antigua pregunta abierta sobre si esto era imposible), así como casi $\theta$ -supercompacto (véase el documento para más detalles).

Teorema. Si $\kappa$ es medible y fuertemente desplegable, entonces existe una extensión forzada en la que es el cardinal menos débilmente compacto, desplegable y débilmente medible.

Teorema. Si $\kappa$ es $\theta$ -supercompacto y fuertemente desplegable, entonces existe una extensión forzosa, que preserva todos los cardinales en el intervalo $[\kappa,\theta]$ en el que $\kappa$ es el cardinal menos débilmente compacto, desplegable, débilmente medible y casi $\theta$ -supercompacto.

Quizás la propiedad que tienes en mente para el cardinal menos débilmente compacto se derive de algunas de estas propiedades del cardinal grande.