Grupo fundamental del espacio de inmersiones de la 2-esfera en el 3-espacio modulo difeomorfismos de la primera

Question

En un pregunta anterior de Mathoverflow vimos que el grupo fundamental del espacio $Imm(S^2,\mathbb{R}^3)$ de inmersiones la 2-esfera en el espacio 3 ordinario es isomorfa a $\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}$ .

También vimos que girando la esfera 360 grados en sí mismo da un elemento de orden $2$ lo que quiero decir, y más en general, si $f_0\in Imm(S^2,\mathbb{R}^3)$ es su punto base y si $R_t\in SO(3)$ es un camino que representa el elemento no trivial en $\pi_1(SO(3))\equiv \mathbb{Z}/2$ entonces $f_0\circ R_t$ es un camino que es de orden $2$ en $\pi_1(Imm(S^2,\mathbb{R}^3))$ .

Por supuesto, la precomposición de una inmersión mediante un difeo no cambia la imagen de la inmersión. Así que el camino anterior no es significativo en términos de la imagen. Es interesante, en lugar de considerar $Imm(S^2,\mathbb{R}^3)$ , para observar el espacio del cociente $Imm(S^2,\mathbb{R}^3)/Diff(S^2)$ donde $Diff(S^2)$ es el espacio de los autodifeomorfismos de la 2-esfera. De hecho, deseamos conservar la orientación de la esfera (para poder etiquetar cada cara de las esferas inmersas de forma coherente), de ahí que prefiera mirar $$Imm(S^2,\mathbb{R}^3)/Diff^+(S^2)$$ donde $Diff^+(S^2)$ denota el conjunto de preservación de la orientación difeomorfismos de $S^2$ .

Creo que la acción de $Diff^+(S^2)$ en $Imm(S^2,\mathbb{R}^3)$ es libre, es decir, que no hay inmersión $f$ que es invariante por una orientación no trivial que preserva la difeo de $S^2$ .

¿Es cierto que recibimos un paquete de fibra $Imm(S^2,\mathbb{R}^3) \mapsto Imm(S^2,\mathbb{R}^3)/Diff^+(S^2)$ con fibra $Diff^+(S^2)$ ?

¿Es cierto que esto lleva a una secuencia corta exacta $$1\to \pi_1 Diff^+(S^2)\to \pi_1 Imm(S^2,\mathbb{R}^3) \mapsto \pi_1 (Imm(S^2,\mathbb{R}^3)/Diff^+(S^2)) \mapsto 1$$ y que esta última es equivalente a $$0\to \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0\ ?$$ Ahora bien, si insiste en mirar $Imm(S^2,\mathbb{R}^3)/Diff(S^2)$ También me gustaría saber cuál es su grupo fundamental. Nótese que la doble cobertura de la superficie de Boy está fijada por el mapa antipodal, por lo que la acción no es libre, así que no obtenemos un haz de fibras para empezar. Sin embargo, el mapa $$Imm(S^2,\mathbb{R}^3)/Diff^+(S^2) \to Imm(S^2,\mathbb{R}^3)/Diff(S^2)$$ existe (es continua pero no es una cubierta) y podemos preguntarnos sobre su acción a nivel de los respectivos grupos fundamentales. Es interesante observar que las eversiones son bucles en el espacio de la derecha pero no en el de la izquierda.

Answer 1

La acción de $\text{Diff}^+(S^2)$ en $\text{Imm}(S^2,\Bbb R^3)$ es gratis. Para elegir cualquier inmersión $i$ y el difeomorfismo $f$ ; dado $x \in \Bbb R^3$ $i^{-1}(x)$ es una discreta cerrada (porque $i$ es un conjunto de inmersión) y, por tanto, finito. Por lo tanto, si $if = i$ , $f$ tiene órbitas finitas, y por esta pregunta anterior de MathOverflow $f$ es periódica. Afirmo que la acción de grupo de $\Bbb Z/n$ en $S^2$ generado por $f$ es libre; Cervera-Mascaro-Michor lo demuestran en el Lemma 1.3 aquí . Por lo tanto, desciende a un mapa suave de colectores $S^2/\langle f\rangle \to \Bbb R^3$ Esto sólo es posible si $S^2/\langle f\rangle$ es $\Bbb{RP}^2$ y $f$ es la inversión de la orientación. Así que la acción de $\text{Diff}^+(S^2)$ es gratis.

El mismo trabajo de Cervera-Mascaro-Michor, entonces, muestra que se obtiene un haz de fibras $\text{Diff}^+(S^2) \to \text{Imm}(S^2,\Bbb R^3) \to \text{Imm}(S^2,\Bbb R^3)/\text{Diff}^+(S^2)$ .

Es un resultado de Smale que la inclusión $SO(3) \to \text{Diff}^+(S^2)$ es una equivalencia homotópica. Porque $\pi_0$ y $\pi_2$ de $SO(3)$ son triviales, se obtiene la secuencia exacta corta de grupos fundamentales que se quería a partir de la secuencia exacta larga de grupos de homotopía de una fibración.

Por último, sólo hay una secuencia exacta hasta el isomorfismo de grupos abelianos $1 \to \Bbb Z/2 \to \Bbb Z \oplus \Bbb Z/2 \to G \to 1$ y $G$ debe ser $\Bbb Z \to 1$ . (Sólo hay un homomorfismo inyectivo $\Bbb Z/2 \to \Bbb Z \oplus \Bbb Z/2$ .)

e: $\text{Imm}(S^2,\Bbb R^3)/\text{Diff}(S^2)$ es el cociente de $\text{Imm}(S^2,\Bbb R^3)/\text{Diff}^+(S^2)$ por la involución dada por la precomposición con el mapa antipodal. El conjunto del punto fijo es de codimensión infinita. Su complemento, entonces, por argumentos de transversalidad, tiene el mismo grupo fundamental; y lejos del conjunto del punto fijo es un mapa de cobertura. Así que obtenemos que $\text{Imm}(S^2,\Bbb R^3)/\text{Diff}(S^2)$ tiene grupo fundamental $\Bbb Z$ y el mapa cociente induce la multiplicación por dos en el grupo fundamental.