Quiero demostrar que si $M$ es un módulo sobre un anillo conmutativo $R$ que es aniquilado por un ideal máximo $I$ de $R$ entonces $M$ es un semisimple $R$ -módulo. Lo que tengo en mente es lo siguiente: si $M$ es aniquilado por $I$ entonces $M$ es un módulo sobre $R/I$ que es un campo. Dado que todo módulo sobre un campo es semisimple, entonces $M$ debe ser semisimple como un $R$ -módulo.
¿Está bien este argumento? ¿Es también cierto para los anillos no conmutativos?
El argumento es el que yo habría utilizado: es sólido.
¿Es también cierto para los anillos no conmutativos?
No... toma cualquier anillo simple no Artiniano. Entonces todo módulo no nulo tiene aniquilador $\{0\}$ , que es maximal, y obviamente algunos de los módulos no son semisimples.
No se puede llegar a ninguna parte sustituyendo "ideal máximo" por "ideal máximo derecho", porque un aniquilador si un módulo es siempre de dos lados, por lo que cualquier ideal máximo derecho sería también un ideal máximo de dos lados.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
