Relación entre la variable independiente/dependiente para la sustitución en la EDO

Question

Tengo la siguiente ODE: $$ y'=y^2\cos t-\frac{1}{10}y $$ sustituyendo $z=1/y$ Entiendo que esto es $z(t)=1/y(t)$ . Lo sé. $t$ es la variable independiente y $y$ es la variable dependiente.

¿Cuál es el papel de $z$ ¿aquí? ¿Cambia la variable dependiente cuando $y(t)=1/z(t)$ ?

He visto en el libro que está escrito: $$ y'=\frac{-z'}{z^2} $$ ¿significa esto que: $$ y'(t)=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dt} $$ es la relación $z(y(t))$ ?

¿Puede alguien explicar la diferenciación implícita en esta expresión? ¿Cuáles son las variables dependiente e independiente aquí?

Entiendo cómo terminar esto, pero quiero saber la intuición que hay detrás. Siempre confundo cuáles son las variables dependientes e independientes al hacer la sustitución, y a qué variable tengo que diferenciar implícitamente.

Answer 1

$y'$ en su ecuación significa $ \frac {dy}{dt}$ ya que z es una función de la variable t

$$y'=\frac {dy}{dt}$$ $$y'=\frac {dy}{dz}\frac {dz}{dt}=\frac {dy}{dz}z'$$ Dado que usted tiene $y=\frac 1 z$ entonces $$\frac {dy}{dz}=\frac {d}{dz}\frac 1z=-\frac {1}{z^2}$$ Por lo tanto, $$y'=\frac {dy}{dz}z'=-\frac {z'}{z^2}$$ La forma más sencilla es diferenciar con respecto a la variable t

$$y=\frac 1 z$$ Donde z es una función de t $$\frac {dy}{dt}=\frac d {dt}\left(\frac 1 z\right)$$ $$y'=\frac {-z'}{z^2}$$

Answer 2

escriba su ecuación en la forma $$-\frac{y'(t)}{y(t)^2}-\frac{1}{10y(t)}=-\cos(t)$$ sustituyendo $$u(t)=\frac{1}{y(t)}$$ entonces obtendrá $$u'(t)-\frac{u(t)}{10}=-\cos(t)$$ ¿puedes terminar?