Pregunta sobre la caracterización de conjuntos abiertos de funciones continuas

Question

Conozco el teorema ---

Dejemos que $(X, d)$ y $(X', d')$ sean espacios métricos. $f: X \mapsto X'$ es una función continua si y sólo si para cada conjunto abierto $U \subset X'$ , $f^{-1}(U)\subset X$ está abierto en X.

¿Significa eso que para cada conjunto abierto $A \subset X$ , $f(A) \subset X'$ ¿está abierto? Básicamente, pregunto si la parte que viene después de "si y sólo si" funciona a la inversa.

Answer 1

No. Los mapas con la propiedad que $f(A)\subset X'$ está abierto siempre que $A\subset X$ son abiertos se denominan mapas abiertos. No todos los mapas abiertos son continuos. Véase aquí: Mapas abiertos que no son continuos

A la inversa, cada mapa constante es continuo, pero claramente no abierto.