Encuentre un atlas para $H=\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{R}^4 : x_1+x_2^2=x_3^2+x_4=1\}$

Question

Encuentre un atlas para $H=\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{R}^4 : x_1+x_2^2=x_3^2+x_4=1\}$

Dejemos que $F:\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2$ s.t. $(x_1,x_2,x_3,x_4) \mapsto (x_1+x_2^2-1,x_3^2+x_4-1)$ .

Entonces, $H=F^{-1}(0,0)$ .

Desde $DF_a:\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2$ , $(x_1,x_2,x_3,x_4) \mapsto (x_1+2a_2x_2,2a_3x_3+x_4)$ es suryente, $H$ es una subvariedad de $\mathbb{R}^4$ y su dimensión es $4-2=2$ .

Por lo tanto, $H$ admite un atlas.

¿Existe alguna estrategia fácil para dar un atlas de dichas variedades (es decir, dado por las fibras)?

Gracias de antemano.

Answer 1

$$\phi_1(u, v)=(u, \sqrt{1-u}, v, \sqrt{1-v})$$ $$\phi_2(u, v)=(u, \sqrt{1-u}, v, -\sqrt{1-v})$$ $$\phi_3(u, v)=(u, -\sqrt{1-u}, v, \sqrt{1-v})$$ $$\phi_4(u, v)=(u, -\sqrt{1-u}, v, -\sqrt{1-v})$$