Elegir $n$ y $r$ para que $n \choose r$ se aproxima a $\pi$

Question

Me encontré con una curiosa fórmula, mientras probaba diferentes números en $n \choose r$ .

$${7.5 \choose 7} \approx \pi $$

La aparición de $\pi$ con factoriales se ha discutido antes, como es en ¿Por qué es $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ ?

Utilizando la función gamma o algún otro método, ¿podemos demostrar esta fórmula aproximada para $7.5 \choose 7$ ?

Además, ¿hay alguna opción de $n$ y $r$ que produce $\pi$ ¿Exactamente?

Answer 1

¡No es una coincidencia! $$\binom{7.5}{7}=\binom{7.5}{0.5} = \frac{\Gamma\left(\frac{17}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\Gamma(8)}=\pi\cdot\left(\frac{16}{\pi\cdot 4^8}\binom{16}{8}\right) $$ por lo que $\binom{7.5}{7}\approx \pi$ equivale a $$ \frac{16}{\pi\cdot 4^8}\binom{16}{8}\approx 1$$ que es una consecuencia de $$ \frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\approx\frac{1}{\sqrt{\pi n}},\qquad \frac{16}{\pi\sqrt{8\pi}}\approx 1 $$ por lo que nuestra aproximación es esencialmente equivalente a $\pi^3\approx 32$ que se desprende de $$ \frac{\pi^3}{32}=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3} $$ probado aquí . En realidad, la última identidad implica la aproximación más ajustada (y algo más bonita) $$ \pi \approx 31^{1/3}. $$