Sobre el problema de Turan (desigualdad) en multivariable

Question

Hola. Tengo una pregunta relacionada con el problema de Turan, es decir

Encuentra una secuencia de polinomios $P_n(x)$ Satisfaciendo a $P_{n+1}(x)P_{n-1}(x) < P_{n}^2(x)$ .

Estoy considerando la pregunta generalizada para los multivariables positivos, es decir

Dejemos que $k$ sea un número entero positivo y que $x_1, ... x_k$ sean k indeterminados. Para $x_1, ... x_n > 0$ encontrar una secuencia de polinomios $P_n(x_1, ... , x_k)$ Satisfaciendo a

$P_{n+1}(x_1, ... , x_k) P_{n-1}(x_1, ... , x_k) < A(n)P_n(x_1, ... , x_k)^2$ donde

$A(n)$ es una función fija para $n$ .

¿Hay algún resultado o alguna referencia relacionada con este problema?

En particular, me interesa el caso de que $A(n) = \frac{n+2}{n+1}$ . Y traté de comprobar la desigualdad anterior usando maple dejando que $P_n(x_1, ... , x_k) = x_1^n + ... + x_k^n$ . entonces sorprendentemente(para mí) no encontré un contraejemplo hasta ahora, ni demostré la desigualdad.

¿Cómo puedo demostrar (o encontrar un contraejemplo) de esta desigualdad? Agradezco mucho cualquier comentario y ayuda.

Gracias de antemano.

Answer 1

Lo siento. Ottem tiene razón. $P_n$ es un polinomio de grado $n$ . En particular, puede suponer que $P_n$ es una función simétrica. Centrémonos en que $P_n(x_1, ... ,x_k) = x_1^n + ... x_k^n$ para cualquier $k > 0 , n > 1$ los números enteros dados.

Por la desigualdad de reordenación, podemos demostrar fácilmente que $ F(n) = \frac{P_n^2}{P_{n+1}P_{n-1} \leq 1.$ Quiero saber el límite inferior de $F(n)$ para cada $n$ .

Answer 2

$L^1$ es un espacio de Banach, su conjunto es por tanto vacío. También se puede demostrar de esta manera: para cada $m,n$ tenemos $$ \int_\mathbb{R}|f_n-f_m| \le \int_\mathbb{R}|f_n-f|+\int_\mathbb{R}|f-f_m|, $$ es decir $(f_n)$ es la secuencia de Cauchy, y como $L^1$ es un espacio de Banach, hay algún $g \in L^1$ tal que $f_n \to g$ . Por la unicidad del límite concluimos que $f=g \in L^1$ .

Answer 3

Intentemos esto en forma de respuesta. Dejemos que $Q = Q(x_1,\ldots,x_n)$ sea un polinomio multivariante sobre algún anillo ordenado que contenga los números enteros (con la ordenación habitual de los números enteros). Entonces definamos $P_n = Q - n$ . Entonces

$(Q - (n+1))(Q - (n-1)) = Q^2 -2nQ + n^2 - 1 = (Q-n)^2 - 1$ .

Esto parece satisfacer su desigualdad, incluso con $A(n)= 1$ . ¿Había algo más?

Preferiría no encontrar referencias ni hacer más trabajo a menos que puedas decirme más de lo que sabes sobre el problema y más detalles sobre lo que realmente quieres.

Gerhard "Ask Me About System Design" Paseman, 2011.02.17