Siguiendo la integral definida

Question

Aquí está la integral:

$$\int_{0}^{2}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}} dx$$

Aquí está mi trabajo:

$$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}} := y \implies x=y^2-y$$ Por diferenciación implícita, $$1 = 2y\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx} \implies dx=dy(2y-1)$$ .

Así que la integral es $$\int_{0}^{2}y(2y-1)dy = \frac{10}{3}$$ .

(Los límites de la integral se mantienen en $0$ y $2$ )

Sin embargo, Wolfram Alpha me da aproximadamente $19/6$ ; http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28%28x%2B%28x%2B%28x%2B%28x%2B%28x%2B%28x%2B%28x%2B%28x%2B%28x%2B%28x%2B%28x%2B%28x%2B%28x%2B%28x%2B%28x%29%5E%280.5%29%29%5E%280.5%29%29%5E%280.5%29%29%5E%280.5%29%29%5E%280.5%29%29%5E%280.5%29%29%5E%280.5%29%29%5E%280.5%29%29%5E%280.5%29%29%5E%280.5%29%29%5E%280.5%29%29%5E%280.5%29%29%5E%280.5%29%29%5E%280.5%29%29%5E%280.5%29%2C0%2C2%29 .

¿Hay algún problema con mi trabajo?

Answer 1

¿Hay algún problema con mi trabajo?

Sí, no has cambiado los límites de la integral correctamente.

Tiene (ver más abajo)

$$\lim_{x\downarrow 0} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dotsc}}}} = 1,$$

por lo que la integral debería ser

$$\int_1^2 y(2y-1)\,dy.$$

Con $f(x) = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dotsc}}} = \sqrt{x+f(x)}$ , para $x > 0$ tenemos $f(x) \geqslant 0$ De ahí que $f(x) = \sqrt{x+f(x)} \geqslant \sqrt{x}$ . Entonces $f(x) = \sqrt{x+f(x)} \geqslant \sqrt{f(x)} \geqslant \sqrt[4]{x}$ , e iterando $f(x) \geqslant x^{1/2^k}$ para todos $k \in\mathbb{N}$ , lo que implica $f(x) \geqslant 1$ .

Desde $x = y^2-y$ podemos calcular directamente $y = f(x)$ con la fórmula cuadrática y obtener

$$f(x) = \frac{1}{2} + \sqrt{x+ \frac{1}{4}},$$

que podemos integrar para comprobar el resultado.