Una forma de interpretar la pregunta podría ser: ¿La propiedad de ser congruente es una propiedad topológica? Es decir, ¿se detecta a nivel de las superficies de Riemann $\mathcal{H}/\Gamma$ ?
Mi motivación es que estoy buscando un algoritmo eficiente para probar si un subgrupo de índice finito dado de $SL_2(\mathbb{Z})$ es la congruencia.
El mejor algoritmo que conozco es El algoritmo de Hsu pero esto sólo prueba si un subgrupo de índice finito de $\text{PSL}_2(\mathbb{Z})$ es la congruencia.
Dado un índice finito $\Gamma\le\text{SL}_2(\mathbb{Z})$ la imagen de $\Gamma$ en $\text{PSL}_2(\mathbb{Z})$ es congruente si y sólo si $\pm\Gamma$ es la congruencia. Aquí, $\pm\Gamma$ es el subgrupo generado por $\Gamma$ y $-I$ .
Dejemos que $\ell$ sea el "nivel de Wolhfart" de $\Gamma$ - es decir, $\ell$ es el mínimo común múltiplo de las anchuras de las cúspides de $\mathcal{H}/\Gamma$ . Entonces, un teorema clásico de Wolhfart/Klein dice que $\pm\Gamma$ es congruente si y sólo si contiene $\Gamma(\ell)$ o, lo que es lo mismo, si contiene $\pm\Gamma(\ell)$ (en realidad, este teorema se cita incorrectamente en muchas fuentes, donde el $\pm$ en $\pm\Gamma$ es ignorado!!)
La primera pregunta es: ¿Es la prueba de congruencia en $\text{PSL}_2(\mathbb{Z})$ ¿es suficiente? Es decir, si $\pm\Gamma$ es congruente, entonces debe $\Gamma$ ¿es congruente?
Por supuesto, esto sólo es relevante si $-I\notin\Gamma$ , en cuyo caso $\pm\Gamma = \Gamma\times\{\pm I\}$ y $\pm\Gamma(\ell) = \Gamma(\ell)\times\{\pm I\}$ . Intersección $\Gamma$ con $\pm\Gamma(\ell)$ Hay dos casos:
A) Si $\ell = 2$ , entonces si $\pm\Gamma$ es congruente, debe contener $\Gamma(2) = \pm\Gamma(2)$ Así que $\Gamma\cap\Gamma(2)$ tiene el índice 2 en $\Gamma(2)$ con el cociente un grupo abeliano de 2 tensiones, pero el cociente abeliano de 2 tensiones máximo de $\Gamma(2)$ es $\Gamma(2)/\Gamma(4) = C_2\times C_2\times C_2$ Por lo tanto $\Gamma$ contiene $\Gamma(4)$ y es congruente.
En particular, esto demuestra que el subgrupo Sanov -el subgrupo de índice 12 de $\text{SL}_2(\mathbb{Z})$ generado por $$\begin{bmatrix} 1&2\\0&1 \end{bmatrix} \quad\text{and}\quad\begin{bmatrix} 1&0\\2&1 \end{bmatrix}$$ es congruente, aunque las anchuras de las cúspides sean todas 2 y no contenga $\Gamma(2)$ .
B) Si $\ell\ge 3$ y, a continuación, de nuevo $\Gamma\cap\pm\Gamma(\ell)$ tiene el índice 2 dentro de $\pm\Gamma(\ell)$ y ciertamente cualquier subgrupo de índice 2 de $\pm\Gamma(\ell)$ puede aparecer, por lo que la pregunta se reduce a:
Reformulación de la pregunta: Para cualquier $\ell\ge 3$ es todo subgrupo de índice 2 de $\pm\Gamma(\ell)$ ¿un subgrupo de congruencia?
o de forma equivalente: Para cualquier $\ell\ge 3$ es el compuesto $\Gamma(\ell)'\Gamma(\ell)^2$ congruencia? (el primero es el subgrupo del conmutador, el segundo es el subgrupo de los cuadrados)
Ni siquiera conozco una forma razonable de probar computacionalmente esto, ya que sin el resultado de Wolhfart/Klein, uno podría a priori tener que probar la no contención de infinitas $\Gamma(n)$ para demostrar que algunos $\Gamma$ es la no congruencia.
Por supuesto, si la respuesta es negativa, entonces naturalmente uno podría preguntarse:
¿Existe un algoritmo eficiente para comprobar si un subgrupo de índice finito dado de $\text{SL}_2(\mathbb{Z})$ ¿es la congruencia?
