Demostrar mediante inducción matemática que $2^{3n}-1$ es divisible por $7$

Question

Así que, quiero probar $2^{3n}-1$ es divisible por $7$ Así que hice esto:

$2^{3n}-1 = 7\cdot k$ -> para algunos $k$ valor

$2^{3n+1} = 1+2\cdot1 - 2\cdot1 $

$2^{3n+1} - 1-2\cdot1 + 2\cdot1 $

$2^{3n}\cdot2 - 1-2\cdot1 + 2\cdot1$

$2(2^{3n}-1) -1 +2$

$2\cdot7k+1$ -> hizo esto usando la hipótesis.

Así que, no sé si está bien, o si está mal, no sé cómo seguir adelante con esto, o si es el final.

Gracias.

Answer 1

(Sin inducción)

Existe una identidad muy útil $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + a b^{n-2} + b^{n-1})$ .

Si toma $a = 2^{3} = 8$ y $b=1$ El resultado es evidente.

Answer 2

Supongamos que $2^{3k}-1=7m$

Considere $2^{3(k+1)}-1=2^{3k}.2^3-1=(7m+1)8-1=7(8m+1)=7n$

Answer 3

Si $\displaystyle f(m)=2^{3m}-1$

$\displaystyle f(m+1)=2^{3(m+1)}-1$ y no $2^{3m+1}-1$

Así que, $2^{3(m+1)}-1=2^3\cdot2^{3m}-1=2^3(2^{3m}-1)-1+2^3$

Answer 4

$f(n) = 2^{3n}-1 $

$f(0) = 0$ y $7|0$

Supongamos que $7|f(n)$ Digamos que $f(n) = 7k$ , $\Rightarrow f(n+1) = 2^{3n+3}-1 = 8\cdot2^{3n}-1 = 8\cdot2^{3n}-1 + 8 - 8 = 8(2^{3n}-1) - 7 = 8\cdot(7k) - 7 = 7\cdot(8k-1)$

Answer 5

$2^{3n}-1=8^n-1=(7+1)^n-1$ . Ahora, observe que todos los términos de la expansión de $(7+1)^n$ son múltiplos de $7$ excepto el último, que se anula con $-1$ . Por lo tanto, $2^{3n}-1$ es un múltiplo de $7$ .