¿Por qué es esto cierto? $1- (1-1/n)^{\varepsilon n} \leq \varepsilon + \mathcal{O}(\varepsilon^2)$

Question

En mis notas de clase, está escrito lo siguiente:

$$1- (1-1/n)^{\varepsilon n} \leq \varepsilon + \mathcal{O}(\varepsilon^2)$$

como $\varepsilon \rightarrow 0$ y $n$ alguna constante fija (entero no negativo), pero no entiendo por qué.

Todo lo que consigo es

$$1-(1-1/n)^{\varepsilon n} \leq e^{-(1-1/n)^{\varepsilon n}}$$

pero no soy capaz de llegar a la declaración.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

La serie de potencias de una función analítica es también una serie asintótica, por lo que podemos decir que $\exp \delta \sim 1+\delta + \mathcal O(\delta^2)$ como $\delta \to 0$ .

Aplicando esto a su expresión se obtiene $$ 1 - (1-1/n)^{\epsilon n} = 1 - \exp(\epsilon n \log(1-1/n)) \sim -\epsilon n \log (1-1/n) + \mathcal O(\epsilon^2)~~. $$

Tenga en cuenta que $-n\log(1-1/n) > 1$ para cada $n>1$ y, de hecho, tiende a 1 cuando $n\to\infty$ . En particular, si $n$ es constante, esto también es una constante. No tengo claro qué definición de notación asintótica estás utilizando, pero quizás esta información sea suficiente para concluir el resultado deseado.