Prueba de que el espacio de Campanato está incrustado en un espacio continuo de Hölder

Question

En la conferencia vi el teorema de Campanato, que incrusta el espacio de Campanato en el espacio de Hölder, más precisamente ver Teorema abajo. Me encontré con algo que no entendí en la demostración. Lo mencionaré después de dar el teorema. Pero permítanme empezar con algunas notaciones y suposiciones:

• Dejemos que $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ estar abierto siempre estar abierto. Para $x_0 \in \Omega, r > 0$ fijamos $$\Omega_{r}(x_0)=B_r(x_0) \cap \Omega,$$ donde $B_r(x_0)$ es la bola abierta de radio $r$ centrado en $x_0$ .
• Para $1 \leq p < \infty, \lambda > 0$ el espacio del campanato se define como $$\mathcal{L}^{p,\lambda}(\Omega)=\{u \in L^p(\Omega): [u]_{\mathcal{L}^{p,\lambda}(\Omega)}:=\sup_{x_0 \in \Omega, 0 < r < r_0} (r^{-\lambda} \int_{\Omega_r(x_0) }|u-u_{x_0,r}|^pdx)^{1/p}\},$$ donde $$u_{x_0,r}:=\frac{1}{\mathcal{L}^n(\Omega_r(x_0))} \int_{\Omega_r(x_0)}u dx,$$ con norma $$||u||_{\mathcal{L}^{p,\lambda}}:= ||u||_{L^p}+[u]_{\mathcal{L}^{p,\lambda}}$$
• Un mapa $u : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ se denomina continua de Hölder con exponente $\alpha \in (0,1]$ Si $$\forall x,y \in \Omega: |u(x)- u(y)| \leq C |x-y|^\alpha.$$ El espacio de Hölder se define como $$C^{0,\alpha}(\overline{\Omega})=\{u \in C^0(\overline{\Omega}): u \text{ is Hölder continuous with exponent } \alpha\},$$ con la semi-norma dada por $$[u]_{C^{0,\alpha}}:= \sup_{x,y \in \Omega,x ≠ y} \frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\alpha}$$

Teorema : Dejemos que $\Omega$ ser abierto y de tipo $A$ es decir $\mathcal{L}^n(\Omega_r(x_0)) \geq Ar^n$ para todos $x_0 \in \Omega$ y $0< r< r_0(\Omega):=\min\{1,diam(\Omega)\}$ . Dejemos que $\lambda > n$ , $1 \leq p < \infty$ y $\alpha=\frac{\lambda-n}{p}$ . Entonces $\mathcal{L}^{p,\lambda}(\Omega)$ puede ser incrustado en $C^{0,\alpha}(\overline{\Omega})$ y $$\forall u \in \mathcal{L}^{p,\lambda}(\Omega): ||u||_{C^{0,\alpha}} \leq C ||u||_{\mathcal{L}^{p,\lambda}(\Omega)} $$ para una constante $C > 0$ independiente de $u$ .

En la prueba construimos un representante continuo $\overline{u}$ de $u$ y demostró

Reclamación: $\overline{u} \in C^{0,\alpha}(\overline{\Omega})$ y para $x_0 \neq y_0 \in \Omega$ con $0 < |x_0-y_0| =r < \frac{r_0}{2}$ tenemos $$|\overline{u}(x_0)-\overline{u}(y_0)| \leq C r^\alpha [u]_{\mathcal{L}^{p,\lambda}}$$

Así que mi pregunta : He entendido la demostración de la estimación en la reclamación, pero no puedo entender por qué entonces podemos ver que $\overline{u}$ es continua de Hölder, ya que la estimación sólo es válida para $r < \frac{r_0(\Omega)}{2}$ ?

También agradecería si alguien pudiera citar otra fuente para una prueba, que contiene muchos detalles. ¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

La estimación de la gran distancia se obtiene mediante un límite aproximado de $\sup |u|$ de la siguiente manera.

Lema . Supongamos que $u\in L^p(\Omega)$ y existen constantes $C,\alpha,r_0$ tal que $|u(x)-u(y)|\le C|x-y|^\alpha$ siempre que $x, y\in\Omega$ y $|x-y|< r_0$ . Entonces $u\in C^{0, \alpha}(\overline{\Omega})$ y $[u]_{C^{0, \alpha}}\le C'$ donde $C'$ depende sólo de $C, \alpha, r_0, \|u\|_{L^p}$ y $A$ (la constante en la definición del tipo $A$ ).

Prueba . Para $|x-y|\ge r_0$ tenemos $$ \frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\alpha} \le \frac{2\sup_{\overline{\Omega}}|u|}{r_0^\alpha} $$ por lo que basta con dar un límite superior para $|u|$ . Supongamos que $|u(x_0)|=M$ donde $M>2Cr_0^\alpha$ . Entonces, para todos los $y\in \Omega_{r_0}(x_0)$ tenemos $|u(y)|\ge M - Cr_0^\alpha > M/2$ Por lo tanto $$ \int_\Omega |u|^p \ge (M/2)^p \mathcal L^n(\Omega_{r_0}(x_0)) \ge (M/2)^p A r_0^n $$ por lo que $M\le 2\|u\|_{L^p}A^{-1/p}r_0^{-n/p}$ . Conclusión: $$ \sup |u| \le \max(2Cr_0^\alpha, 2\|u\|_{L^p}A^{-1/p}r_0^{-n/p}) $$ lo que demuestra el lema.