Trisecta los lados de un cuadrilátero y conecta los puntos para tener nueve cuadriláteros, como se puede ver en la figura. Demuestra que el área del cuadrilátero medio es una novena parte del área total. 
Respuestas
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Calvin Lin
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Esto se hace más fácilmente usando vectores. Deja que los puntos $A, B, C, D$ estar representado por los vectores $a, b, c, d$ . La zona $[ABCD]$ es igual a $ \frac {1}{2}(a-c) \times (b-d) $ .
Si no estás familiarizado con esto, considera la triangulación usando el origen, y suma las 4 áreas de los triángulos, para obtener
$$ \begin {align} [ABCD] = & \frac {1}{2} a \times b + \frac {1}{2} b \times c + \frac {1}{2} c \times d + \frac {1}{2} d \times a \\ = & (a-c) \times \frac {1}{2} b + (a-c ) \times (- \frac {1}{2} d) \\ = & \frac {1}{2}(a-c) \times (b-d) \end {align}$$
Es fácil mostrar que $W= \frac {4a+2b+c+2d} {9}, X = \frac { 2a+4b+2c+d} { 9},Y = \frac {a+2b+4c+d} { 9} , Z = \frac { 2a+b+2c+4d} {9} $ . Por lo tanto, la zona es
$$ [WXYZ] = \frac {1}{2} ( \frac {3a-3c}{9} ) \times ( \frac {3b-3d}{9} ) = \frac {1}{9} \times \frac {1}{2} (a-c)(b-d) = \frac {1}{9} [ABCD]$$
Considera todos los puntos de ocurrencia como vectores, como en la respuesta de @Calvin Lin, y escribe $ \mu $ para ${1 \over3 }$ . Luego $$p=(1- \mu )a+ \mu b, \quad h=(1- \mu )d+ \mu c, \quad n=(1- \mu )a+ \mu d, \quad e=(1- \mu ) b+ \mu c\ .$$ De ello se deduce que $$(1- \mu )p+ \mu h=(1- \mu )n+ \mu e \quad (=:w')\ ,$$ lo que demuestra que de hecho $$w=w'=(1- \mu )^2 a + \mu (1- \mu )(b+d)+ \mu ^2 c\ .$$ Intercambio $a$ y $c$ aquí da $$y=(1- \mu )^2 c + \mu (1- \mu )(b+d)+ \mu ^2 a\ ,$$ para que lleguemos a $$w-y=(1-2 \mu )(a-c)\ .$$ Apelando a la simetría de nuevo concluimos que también tenemos $$x-z=(1-2 \mu )(b-d)\ .$$ De ello se deduce que $${ \rm area}[WXYZ]=(1-2 \mu )^2\ { \rm area}[ABCD]\ ,$$ y esto vale para cualquier $ \mu\in [0,{1 \over2 }[\ $ .
Brian Deacon
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Reclamar. $W$ y $Z$ trisección $ \overline {PH}$ . Lo mismo ocurre en otros lugares.
Prueba. Dejada al lector (por ahora).
Dada la afirmación, podemos hacer este argumento ilustrado:
Aquí, tenemos $ \triangle ABC \sim \triangle PBF$ con $$ \frac {| \overline {PB}|}{| \overline {AB}|} = \frac {| \overline {FB}|}{| \overline {CB}|} = \frac {2}{3} = \frac {| \overline {PF}|}{| \overline {AC}|} \qquad \text {and} \qquad \overline {PF} \parallel \overline {AC}$$ y $ \triangle PZF \sim \triangle WZY$ con $$ \frac {| \overline {WZ}|}{| \overline {PZ}|} = \frac {| \overline {YZ}|}{| \overline {FZ}|} = \frac {1}{2} = \frac {| \overline {WY}|}{| \overline {PF}|} \qquad \text {and} \qquad \overline {WY} \parallel \overline {PF}$$ para que $$| \overline {WY}|= \frac13 | \overline {AC}| \qquad \text {and} \qquad \overline {WY} \parallel \overline {AC}$$ y de la misma manera $$| \overline {XY}|= \frac13 | \overline {BD}| \qquad \text {and} \qquad \overline {XZ} \parallel \overline {BD}$$
Por la fórmula de ángulo diagonal-diagonal-ángulo para el área cuadrilateral, $$| \square WXYZ| = \frac {1}{2}| \overline {WY}|| \overline {XZ}| \sin\theta = \frac12 \cdot \frac {1}{3}| \overline {AC}| \cdot \frac13 | \overline {BD}| \cdot \sin\theta = \frac19 | \square ABCD|$$
Bill Kleinhans
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1087
Estira la figura en una dirección y en una cantidad que haga que los bordes superior e inferior sean paralelos. Tal transformación preserva áreas relativas. Ahora mira cada trapecio de la fila central. Está claro que el área es igual al promedio de las áreas de los trapecios de arriba y de abajo. De manera similar, estira para hacer que los lados sean paralelos, y mira los trapezoides en la columna central. El área de cada uno de ellos es igual al promedio de las áreas de las figuras a la derecha y a la izquierda. Por lo tanto, el área del cuadrilátero central es igual al promedio de las áreas de los ocho cuadriláteros exteriores.
