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Anillos polinómicos, algoritmo de división

Dejemos que $m,n$ sean enteros no negativos y $m>n$ . Encontrar polinomios $g(x),r(x)$ del anillo $R[x]$ tal que $x^m -1 =q(x)(x^n-1) + r(x)$ , $r(x)=0$ o $\deg(r(x))<n$ . En este caso $x^n -1|x^m - 1$ ?

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David HAust Puntos 2696

Sugerencia $\rm\ mod\,\ x^{\Large n}\!-1\!:\ x^{\Large n}\equiv 1,\ \ so\ \ x^{\Large m}\!-1 \equiv x^{\Large m\ mod\ n}\!-1 \equiv 0 \!\iff\! m\ mod\ n = 0 \!\iff\! n\mid m$

Nota: $\ $ Se puede ir más allá. La secuencia polinómica $\rm\ f_n = (x^n-1)/(x-1),\, $ al igual que la secuencia de Fibonacci, es una fuerte secuencia de divisibilidad es decir $\rm\: (f_m,f_n)\: =\: f_{\:(m,n)}.\,$ La prueba es sencilla - esencialmente la misma que la prueba de la identidad de Bezout para los números enteros - ver mi puesto aquí . Podemos ver la identidad polinómica de Bezout como un análogo q de la identidad entera de Bezout, por ejemplo, comparemos la identidad de Bezout para el gcd $\rm\ \color{#c00}3 = (\color{#0a0}{15},\color{blue}{21})\ $ en forma polinómica y entera:

$$\rm\displaystyle \color{#c00}{\frac{x^3-1}{x-1}}\ =\ (x^{15} + x^9 + 1)\ \color{#0a0}{\frac{x^{15}-1}{x-1}}\ -\ (x^9+x^3)\ \color{blue}{\frac{x^{21}-1}{x-1}}$$

para $\rm\ x = 1\ $ este se especializa en $\ \color{#c00}3\ =\ (3)\ \color{#0a0}{15}\ -\ (2)\ \color{blue}{21},\, $ la identidad entera de Bezout para el gcd.

Merece la pena estudiar estas propiedades de divisibilidad del binomio, ya que aparecen con bastante frecuencia en las aplicaciones de la teoría de los números. Además, proporcionan una excelente motivación para el estudio más general de la teoría de la divisibilidad, $ $ especialmente en teoría de los divisores forma. Para una introducción, véase Borovich y Shafarevich: Teoría de los números.

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