Puede alguien explicarme la diferencia entre las transformaciones lineales que epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo o automorfismo. Agradecería si alguien puede explicar la idea con ejemplos o guiar a alguna buena fuente para aclarar el concepto.
Para cualquier estructura algebraica, un homomorfismo preserva la estructura, y algunos tipos de homomorfismos son:
Nótese que estas son definiciones comunes en el álgebra abstracta; en la teoría de categorías, los morfismos tienen definiciones generalizadas que en algunos casos pueden ser distintas de éstas (pero son idénticas en la categoría de espacios vectoriales).
Así que una transformación lineal $A\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ es un homomorfismo ya que preserva la estructura del espacio vectorial (suma de vectores, suma y multiplicación escalar, multiplicación escalar de vectores), por ejemplo $A(av+w)=aA(v)+Aw$ . Es un epimorfismo si su imagen es $\mathbb{R}^{m}$ es un monomorfismo si tiene núcleo cero, un endomorfismo si $n=m$ y un automorfismo (así como un isomorfismo) si todos ellos son verdaderos.
La siguiente figura puede ser útil. Más detalles aquí .
Soy nuevo en math.stackexchange, ¿alguien puede explicar el downvote? Me encontré con que no podía incrustar la imagen sin más reputación, pero si pudiera hubiera sido auto-explicativo creo.
Se han añadido más detalles para quizás abordar el voto negativo. Además, no puedo comentar la respuesta anterior, pero como menciona @al-jebr, un endomorfismo no necesita ser inyectivo.
"Para cualquier estructura algebraica... epimorfismo" cuidado. Epimorfismo significa cancelable por la derecha, y aunque todo homomorfismo suryectivo es un epimorfismo, hay epimorfismos no suryectivos, por ejemplo, la incrustación $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ es un epimorfismo de anillos (y de semigrupos multiplicativos). Monomorfismo, cancelable por la izquierda es casi siempre equivalente a inyectivo, pero no siempre. Esto es cierto para los espacios vectoriales y las álgebras lineales, pero decir "para cualquier estructura algebraica" es demasiado general.
En álgebra lineal, un epimorfismo entre espacios vectoriales es una aplicación lineal suryente $A:V_{1}\to V_{2}$ Es decir $\text{Im}(A)=V_{2}$ . Por ejemplo, $B:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}:(x,y)\mapsto x+y$ .
En álgebra lineal, endomorfismo de un espacio vectorial a sí mismo. Por ejemplo, $B:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto 2x$ . Editado (30/08/2018): se ha eliminado "inyectiva" y se ha corregido la definición.
En el álgebra lineal, un isomorfismo entre espacios vectoriales es una aplicación lineal tanto sobreyectiva como inyectiva $A:V_{1}\to V_{2}$ Es decir $\text{Ker}(A)=\{0_{V_{1}}\}$ y $\text{Im}(A)=V_{2}$ . Un automorfismo es un isomorfismo entre un espacio vectorial y él mismo. Por ejemplo, $B:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x$ .
En un entorno más general, un morfismo $\phi$ entre dos grupos $(G,\cdot)$ y $(H,\star)$ es una aplicación $G\to H:g\mapsto \phi(g)$ tal que, para todo $g,g'\in G$ tenemos $\phi(g\cdot g')=\phi(g)\star\phi(g')$ y tal que $\phi(e_{G})=e_{H}$ donde $e_{I}$ es el elemento de identidad de $I=G,H$ .
Un epimorfismo entre dos grupos de este tipo es un morfismo suryente $\phi:G\to H$ es decir, para cualquier $h\in H$ existe $g\in G$ tal que $h=\phi(g)$ .
Un endomorfismo entre estos dos grupos es un morfismo inyectivo $\phi:G\to H$ es decir, para todos los $g,g'\in G$ con $\phi(g)=\phi(g')$ implica $g=g'$ .
Un isomorfismo entre dos grupos de este tipo es un morfismo tanto inyectivo como sobreyectivo. Un automorfismo es un isomorfismo con $(H,\star)=(G,\cdot)$ .
Utilizo la notación $0_{V_{1}}$ para denotar el vector nulo del espacio vectorial $V_{1}$ . Por ejemplo, si $V_{1}=\mathbb{R}^{2}$ , $0_{V_{1}}=(0,0)$ . Si $V_{1}=\mathbb{R}^{5}$ , $0_{V_{1}}=(0,0,0,0,0)$ .
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