En la prueba del Lemma de Straddle, como $ \left \lvert f(u)-f(c) - (u-c)f^\prime(c) \right\rvert \leq \varepsilon \lvert u-c \rvert = \varepsilon ( c-u )$ ?

Question

Saqqib Mahmood estaba interrogando a Bartle, Introducción al análisis real (2011 4 ed) Sección 6.1, Ejercicio 17, p. 171. ¿Cómo dedujo (2*) y (2**) a continuación? Estoy desconcertado por todas estas variables $c, \delta, u, v, x$ .

Por lo tanto, podemos concluir que $$ \left\lvert f(x)-f(c) - (x-c)f^\prime(c) \right\rvert \leq \varepsilon \lvert x - c \rvert \tag{2'} $$ para todos $x \in I$ para lo cual $c-\delta(\varepsilon) < x < c+\delta(\varepsilon)$ .

De (2') concluimos que si $u, v \in I$ y $c-\delta(\varepsilon) < u \leq c \leq v < c + \delta(\varepsilon)$ entonces tenemos $$ \left\lvert f(u)-f(c) - (u-c)f^\prime(c) \right\rvert \leq \varepsilon \lvert u-c \rvert = \varepsilon ( c-u ) \tag{2*} $$ y también $$ \left\lvert f(v)-f(c) - (v-c)f^\prime(c) \right\rvert \leq \varepsilon \lvert v-c \rvert = \varepsilon (v-c), \tag{2**} $$

Answer 1

Sólo están reescribiendo (2') considerando los dos casos $x \le c$ y $x \ge c$ por separado (y renombrando $x$ como $u$ y $v$ respectivamente).

Por ejemplo, si $c-\delta(\epsilon) < x < c + \delta(\epsilon)$ y $x \le c$ entonces (2') sigue siendo válido, pero se puede sustituir $|x-c|$ con $(c-x)$ . Esto da (2*).