contar los rectángulos del cuadrado nxn

Question

¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden ver en un $$ n \times n $$ ¿una cuadrícula como la que se muestra? Por supuesto, los rectángulos deben tener al menos una caja de ancho y de profundidad, y los cuadrados están permitidos. http://i.imgur.com/H60Skxs.jpg

Pido una mano de ayuda. Saludos.

Answer 1

$\binom {n+1}2^2$

Sea el rectángulo definido por su punto superior izquierdo ( $x_1, y_1$ ) y el punto inferior derecho ( $x_2, y_2$ ) tal que $0 \le x_1 < x_2 \le n$ y $0 \le y_1 < y_2 \le n$ . El número de formas de elegir tales pares de $x_1, x_2$ es $\binom {n+1}2$ y lo mismo para $y_1, y_2$ .

Answer 2

Este rectángulo se puede especificar eligiendo la opción $x$ coordenadas de los lados verticales y el $y$ coordenadas de las horizontales. En otras palabras, elija enteros $x_1,x_2,y_1,y_2$ tal que $0\le x_1< x_2\le n$ y $0\le y_1< y_2\le n$ . ¿Cuántas formas hay de hacerlo?