¿Cuál es la diferencia entre ortogonal y ortonormal en términos de vectores y espacio vectorial?

Question

Soy principiante en álgebra lineal. Quiero saber una explicación detallada de cuál es la diferencia entre estos dos y geométricamente cómo se interpretan estos dos?

Answer 1

Dos vectores son ortogonales si su producto interior es cero. En otras palabras $\langle u,v\rangle =0$ . Son ortonormales si son ortogonales, pero cada vector tiene norma $1$ . En otras palabras $\langle u,v \rangle =0$ pero $\langle u,u\rangle = \langle v,v\rangle =1$ .

Ejemplo

Para los vectores en $\mathbb{R}^3$ dejar

$$u \;\; =\;\; \left[ \begin{array}{c} 1\\ 2\\ 0\\ \end{array} \right ] \hspace{2pc} v \;\; =\;\; \left [ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 3\\ \end{array} \right ].$$

Los vectores $u$ y $v$ son ortogonales ya que

$$\langle u, v\rangle \;\; =\;\; 1\cdot 0 + 2\cdot 0 + 0\cdot 3 \;\; =\;\; 0$$

pero no son ortonormales ya que $||u|| = \sqrt{\langle u,u\rangle } = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ y $||v|| = \sqrt{\langle v,v\rangle } = \sqrt{3^2} = 3$ . Si definimos nuevos vectores $\hat{u} = \frac{u}{||u||}$ y $\hat{v} = \frac{v}{||v||}$ entonces $\hat{u}$ y $\hat{v}$ son ortonormales ya que ahora cada una tiene norma $1$ y la ortogonalidad se mantiene ya que $\langle \hat{u}, \hat{v}\rangle = \frac{\langle u,v\rangle }{||u||\cdot ||v||} = 0$ .

Answer 2

Se puede pensar en la ortogonalidad como si los vectores fueran perpendiculares en un espacio vectorial general. Y para la ortogonalidad lo que pedimos es que los vectores sean de longitud uno. Así que los vectores que son ortogonales ponen una restricción en el ángulo entre los vectores mientras que los vectores que son ortonormales ponen una restricción tanto en el ángulo entre ellos como en la longitud de esos vectores. Estas propiedades son capturadas por el producto interno en el espacio vectorial que aparece en la definición.

Por ejemplo, en $\mathbb{R}^2$ los vectores $(0,2)$ y $(1,0)$ son ortogonales pero no ortonormales porque $(0,2)$ tiene una longitud $2.$