En todo tratamientos de la cuantización del campo libre de Klein Gordon, he visto que se hace lo siguiente: uno sólo de la nada hace el ansatz que el campo cuántico debe ser escrito como:
$$\varphi(x)=\int{\dfrac{d^3p}{(2\pi)^3}(a_{p}e^{-ip^\mu x_\mu}+a_p^\dagger e^{i p^\mu x_\mu})}$$
y entonces uno encuentra que las relaciones de conmutación de tiempo igual
$$[\varphi(x),\pi(x)]=i\delta(\mathbf{x}-\mathbf{y}),\quad [\varphi(x),\varphi(y)]=[\pi(x),\pi(y)]=0$$
equivalen a
$$[a_p,a_{q}^\dagger]=(2\pi)^3\delta(p-q),\quad[a_p,a_q]=[a_p^\dagger,a_q^\dagger]=0.$$
Hasta aquí lo que se acaba de mostrar: si se comienza con $\varphi(x),\pi(x)$ que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas, si podemos expandir $\varphi(x)$ así los operadores $a_p$ satisface estas relaciones de conmutación y a la inversa si se comienza con los operadores $a_p$ que satisfagan las relaciones de conmutación y construyan $\varphi(x)$ así, la pareja $\varphi(x),\pi(x)$ obedece a las relaciones de conmutación canónicas . Esto es todo lo que se ha hecho realmente .
Por otro lado, esto es en agudo en contraste con los operadores de escalera del oscilador armónico. En este caso asume ya hemos dado y conocido completamente el espacio de Hilbert $\mathcal{E}$ del oscilador armónico, junto con los operadores $X,P$ con la representación $X|x\rangle = x|x\rangle$ obedeciendo a $[X,P]=i$ (si queremos ponernos elegantes podemos justificar esto con el teorema de Stone-von Neuman). Estos se suponen conocidos, y a partir de ahí escribimos $a,a^\dagger$ que resultan obedecer la relación de conmutación $[a,a^\dagger]=1$ .
En la QFT no sabemos $\varphi(x)$ . Así que no podemos escribir $a_p$ en términos de $\varphi(x)$ o las cosas se volverán circulares. Así que no sabemos $\varphi(x)$ y demostramos que podemos convertir el problema en encontrar $a_p$ . Acabamos de trasladar el problema a la búsqueda de otro campo.
La pregunta es: si con esta construcción se cambia el problema de encontrar el campo cuántico $\varphi(x)$ para encontrar el campo cuántico $a_p$ ¿Cómo es que los operadores $a_p$ realmente y definida con precisión? No necesito aquí nada realmente elegante como $*$ -algebras y demás. Sólo quiero algo plausible, porque hasta ahora todo parece circular y todo parece salir de la nada.
