Dejemos que $Y$ sea compacto y el gráfico de $f$ sea cerrado, demuestre que $f$ es continua

Question

Dejemos que $Y$ sea compacto y el gráfico de $f$ sea cerrado, demuestre que $f : X \rightarrow Y$ es continua.

Este es el ejercicio 6.1.3b de Teoría de Conjuntos y Espacios Métricos de Irving Kaplansky. Se trata de un problema sobre espacios métricos, no estoy muy familiarizado con los espacios topológicos.

Mi razonamiento es el siguiente

Queremos demostrar que si tenemos una secuencia $x_n$ en $X$ que converge a $x$ entonces $f(x_n)$ converge a $f(x)$ en $Y$ .

Por lo tanto, dejemos que $x_n$ sea una secuencia convergente en $X$ . Al aplicar $f$ a la secuencia, obtenemos una nueva secuencia, $f(x_n)$ en $Y$ . Ahora, $Y$ es compacta y por lo tanto podemos encontrar una subsecuencia que converge, por lo que tenemos una secuencia $f(x_{n_k})$ que es convergente. Ahora, consideremos esta secuencia de $x_{n_k}$ en $X$ . Dado que toda la secuencia $x_k$ converge, también debe hacerlo $x_{n_k}$ también convergen a $x$ . Por lo tanto, debe nuestra secuencia $f(x_{n_k})$ convergen a $f(x)$ . Aquí es donde estoy atascado. ¿Cómo puedo demostrar que toda la secuencia de $f(x_k)$ converge a $f(x)$ y no sólo una subsecuencia?

Answer 1

Denotemos por $a=\lim_{n\to\infty} x_n$ y $b=\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})$ .

La secuencia $((x_{n_k},f(x_{n_k}))_{k\ge0}$ converge a $(a,b)$ que debe pertenecer al grafo (debido a la suposición de que el grafo es cerrado), por lo que $b=f(a)$ .

Esto demuestra que toda subsecuencia convergente de $(f(x_{n_k}))_{k\ge0}$ converge a $b$ . Desde $Y$ es compacto, lo que demuestra [véase más adelante] que $(f(x_n))_{n\ge0}$ converge a $b$ .

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Lema Dejemos que $Y$ sea un espacio métrico compacto y $(y_n)$ una secuencia cuyos términos pertenecen a $Y$ . Si toda subsecuencia convergente de $(y_n)$ converge a la mismo limitar $\ell\in Y$ entonces $(y_n)$ converge a $\ell$ .

Prueba Supongamos lo contrario. Entonces, existe $\epsilon>0$ , tal que :

$$\forall N\in\mathbb{N},\,\exists n\ge N;\,d(y_n,\ell)>\epsilon$$

Esto nos permite construir una subsecuencia $(y_{n_k})$ tal que :

$$\forall k\in\mathbb{N},d(y_{n_k},\ell)>\epsilon$$

Ahora extrae de $(y_{n_k})$ una subsecuencia convergente : su límite $\ell'$ verificará $d(\ell',\ell)\ge\epsilon$ ...

¡Una contradicción!