Dejemos que $S \subseteq \mathbb{R}$ tienen un supremacía $x$ . Demuestre que existe una secuencia $(x_n)$ en $S$ que converge a $x$ .

Question

Entiendo cómo demostrarlo utilizando la propiedad de aproximación del supremum e invocando el teorema de los límites. Sin embargo, tras leer las respuestas a preguntas similares, creo que hay una forma más directa de demostrarlo sin utilizar el teorema del estrujamiento. Sin embargo, tengo problemas para entender la lógica. Me preguntaba si podría recibir alguna orientación. Esto es lo que tengo hasta ahora:

Desde $x$ es el límite superior mínimo de $S$ para todos $n \in \mathbb{N}$ podemos elegir un $x_n \in S$ tal que $x_n > x - \frac{1}{n}$ . Desde $x$ es un límite superior de $S$ , $x \geq x_n$ para todos $n \in \mathbb{N}$ . Por lo tanto, tenemos $x \geq x_n > x-\frac{1}{n}$ para todos $n \in \mathbb{N}$ .

¿Cómo puedo pasar de aquí a mostrar que $(x_n)$ converge a $x$ utilizando la definición de convergencia (sin utilizar el teorema de squeeze)?

Answer 1

Desde $x\ge x_n>x-1/n$ tenemos $|x-x_n|=x-x_n<1/n$ para cada $n$ .

Answer 2

Para cada fijo $\epsilon >0$ Hay un $N\in\mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n}<\epsilon$ para todos $n\geq N$ (esto se deduce por la propiedad de Arquímedes). Así, para todo $n\geq N$ , $|x_{n}-x|=x-x_{n}<x-(x-\frac{1}{n})=\frac{1}{n}<\epsilon$ .