Dejemos que $X$ sea un espacio topológico conectado por un camino. Entiendo que los grupos de homotopía $\pi_n(X,x_0)$ y $\pi_n(X,x_1)$ son isomorfas entre sí. Sin embargo no entiendo si la imagen del mapa de Hurewicz $\pi_n(X,x) \to H_n(X)$ depende o es independiente de la elección del punto base. ¿Hay alguna manera fácil de entender esto? Disculpa si estoy preguntando algo a escondidas. Agradecería mucho cualquier referencia. Gracias.
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Adam Malter
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Nótese que no tenemos simplemente un isomorfismo arbitrario $\pi_n(X,x_1)\to \pi_n(X,x_0)$ tenemos una descripción explícita de lo que es el mapa. En concreto, podemos obtener dicho isomorfismo eligiendo un camino $\gamma$ de $x_0$ a $x_1$ y luego insertar copias de $\gamma$ radialmente a partir del punto base $s_0$ de $S^n$ para girar un mapa $f:(S^n,s_0)\to (X,x_1)$ en un mapa $f^\gamma:(S^n,s_0)\to (X,x_0)$ . Ahora la observación clave es que este mapa $f^\gamma$ es en realidad homotópica a $f$ como un mapa $S^n\to X$ (es decir, ignorando los puntos de base). La homotopía es complicada de escribir explícitamente, pero fácil de visualizar: basta con reducir gradualmente las extensiones radiales, utilizando sólo la parte entre $\gamma(t)$ y $x_1=\gamma(1)$ para el $t$ paso de la homotopía (por lo que el $t$ mapas de pasos $s_0$ a $\gamma(t)$ ). En cuanto a la imagen que aparece en la parte superior de la página 341 de Hatcher's Topología algebraica las etapas intermedias de la homotopía están dadas por la restricción a los cuadrados que son intermedios entre el interior $f$ cuadrado y el cuadrado exterior completo.
En particular, esto significa $f$ y $f^\gamma$ inducir el mismo mapa en $H_n$ . Dado que la imagen de $f$ bajo el mapa de Hurewicz es simplemente la imagen de la clase fundamental en $H_n(S^n)$ en $f$ Esto significa que $f$ y $f^\gamma$ tienen la misma imagen de Hurewicz. Se deduce que las imágenes de Hurewicz de $\pi_n(X,x_1)$ y $\pi_n(X,x_0)$ son los mismos.
user111848
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23
Por naturalidad, basta con examinar el ejemplo universal $X = S^n$ . En este caso, el homomorfismo de Hurewicz $\pi_n(S^n, s) \to H_n(S^n)$ es un isomorfismo para cualquier punto base $s$ , por lo que, en particular, la imagen no depende del punto base.
EDIT: Aquí está el argumento de la naturalidad que tenía en mente. Dejemos que $f \in \pi_n(X, x)$ corresponden a un mapa $f: (S^n, s) \to (X, x)$ . Entonces tenemos $$\require{AMScd} \begin{CD} \pi_n(S^n, s) @>\cong>> H_n(S^n) \\ @V{f_*}VV @VV{f_*}V \\ \pi_n(X, x) @>>h> H_n(X) \end{CD} $$
Tenemos $h(f) = f_*(1)$ , para $f_*$ el mapa inducido en la homología que no se preocupa por los puntos de base. Esto reduce la pregunta a la cuestión de si las clases $\{f: (S^n, s) \to (X, x_1)\}$ y $\{f: (S^n, s) \to (X, x_2)\}$ inducen la misma colección de mapas en homología. La homología no se preocupa por los puntos base, y olvidando los puntos base, obtenemos las mismas clases de mapas hasta la homotopía siempre que $x_1$ y $x_2$ están en el mismo componente de la trayectoria de $X$ , como $S^n$ está conectado para $n > 0$ .
