líneas tangentes a la curva elíptica

Question

Supongamos que tengo una curva elíptica no singular: $$ y^2 = x^3 + ax^2 + bx +c$$

Por la gráfica sé que tiene 1 o 3 raíces reales, y que la pendiente de la recta tangente en esos puntos es $\infty$ Pero no estoy seguro de cómo hacerlo sin apelar al gráfico.

Sé que si dejamos que $F = y^2 - x^3 + ax^2 + bx +c$ entonces $$\frac {\delta F}{\delta y} = 2y \text{ and } \frac {\delta F}{\delta x} = 3x^2 + 2ax +b $$

Así que $ $$\frac { \delta F}{ \delta y} (a,0) = 0$ pero no sé qué me dice que la pendiente de la recta tangente en $(a,0)$ .

Answer 1

Una curva elíptica es simétrica alrededor del $x$ eje, si $(x,y)$ se encuentra en él, entonces también lo hace $(x, -y)$ . ¿Puedes demostrar a partir de esto algebraicamente que una línea tangente que pasa por un punto con $y=0$ tiene una pendiente infinita?

Editar: Considere $(x(t),y(t))$ una parametrización de un pequeño trozo de la curva elíptica tal que $y(0)=0$ . Entonces, por la simetría $(x(t),-y(t))$ es también una parametrización de un pequeño trozo de la curva elíptica que pasa por el mismo punto $(x(0),0)$ en $\mathbb{R}^2$ .

Ahora hay dos posibilidades, o bien las dos parametrizaciones representan la misma parte de la curva elíptica, entonces $y'(0)=0$ o representan diferentes segmentos de la curva elíptica, entonces $(x(0),0)$ es un punto doble con dos líneas tangentes distintas.