Para números naturales coprimos A, B CUÁNTOS números primos P, Q, R, ... hay que:
A+B ≡ 0 (mod P)
Y
A+B ≡ 0 (mod Q)
Y
A+B ≡ 0 (mod R)
¿Hay algún límite superior o inferior para esos números primos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
David Diaz
Puntos
6
El límite inferior del número de divisores primos de la suma de dos números naturales coprimos arbitrarios es uno: $A+B$ podría ser primordial. Si $P, Q, R$ existen, podría darse el caso de que $A+B = PQR$ . Entonces sólo hay un conjunto de soluciones (de tres primos) para el $A, B$ .
Un límite superior sería el número de divisores del siguiente número primitivo mayor. Para cada primo distinto $P_i$ dividiendo $(A+B)$ , $(A+B)\geq\prod P_i$ .
Por ejemplo, si $A+B < 11\#$ y hay un número máximo de soluciones, entonces $P,Q,R$ debe proceder del conjunto de primos menores que $11$ : $\{2, 3, 5, 7\}$ .
Respuesta a la pregunta original: La conjetura de Goldbach ofrece infinitos contraejemplos:
$$\forall \text{ even }n\in \mathbb{N}\text{, } \exists \text{ primes } p_1,p_2 \text{ s.t. } p_1+p_2 = n$$
Ahora dejemos que $P=2$ . Según Goldbach, existen primos $A, B$ tal que $A+B = PQR$ .
\begin {align} P && Q && R && A && B \\ 2 && 3 && 5 && 7 && 23 \\ && && && 11&& 19 \\ && && && 13&& 17 \\ 2 && 3 && 7 && 5 && 37 \\ && && && 11 &&31 \\ && && && 13 &&29 \\ && && && \color {rojo}{ \textbf {17}} && \color {rojo}{ \textbf {25}} \\ && && && 19 &&23 \\ && && \vdots\\ \end {align}
Es interesante observar que al establecer $P,Q,R$ primero y eligiendo cualquier coprima $A$ entonces $B= PQR-A$ debe ser coprima a las cuatro de $P, Q, R, A$
