Integración del análisis complejo

Question

He intentado calcular el valor de la integral $$ \int_{0}^\infty\frac{\log^2 x}{1+x^2}\,dx. $$

Me encuentro con problemas a la hora de formar incluso un contorno adecuado. He intentado formar un contorno específico y tomar la rama principal del logaritmo, pero no he sido capaz de obtener buenos límites y reducir el problema. He calculado que el residuo es $$\frac{\log^2(i)}{2i},$$ pero después de luchar con lo que parece un problema fácil, no estoy seguro de confiar siquiera en ese cálculo.

Se agradecería cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Una pista: En esta respuesta se demuestra que $$ \frac\pi2\sec\left(\frac\pi2\alpha\right) =\int_0^\infty\frac{z^\alpha}{1+z^2}\,\mathrm{d}z $$ Diferenciar dos veces con respecto a $\alpha$ y establecer $\alpha=0$ .

Otros dos métodos se dan en esta respuesta .