Línea del plano de Fano

Question

Estoy confundido en esta pregunta Sé que una línea fano es donde contiene exactamente 3 puntos.

Si nos dan 2 de tres puntos, ¿cómo podemos encontrar el tercero? Esta pregunta me ronda la cabeza desde hace mucho tiempo, pero no consigo resolverla.

gracias

Answer 1

Esto probablemente no ayude, pero conecta con una teoría más general. El plano de Fano consiste en todos los puntos $(a,b,c)$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son $0$ o $1$ y $(0,0,0)$ no está permitido. Dados dos puntos en esta notación, obtenemos el tercer punto de la recta sumando las coordenadas módulo $2$ (así $1+1=0$ ).

Ahora ve a la imagen a la que te dieron un enlace. Las etiquetas se han elegido para que sean coherentes con la descripción "binaria" dada en el párrafo anterior. Fíjate, por ejemplo, en los puntos que llaman $3$ , $5$ y $6$ y que yo llamaría $(0,1,1)$ , $(1,0,1)$ y $(1,1,0)$ .

Encuentre por ejemplo $(0,1,1)+(1,0,1)$ modulo $2$ . Obtenemos $(1,1,0)$ ¡! Lo mismo ocurre con todos los demás. Para encontrar el tercer punto de la recta, dado que las coordenadas de dos de los puntos son $(a,b,c)$ y $(d,e,f)$ , añadir el módulo de coordenadas $2$ .

Answer 2

Nótese que el plano de Fano es una estructura de incidencia en la que dos puntos cualesquiera están contenidos en exactamente una línea. Y además, cada recta contiene exactamente 3 puntos. Por lo tanto, si se dan dos puntos cualesquiera hay una única recta que los contiene y así se puede averiguar cuál es el tercer punto.

Una imagen podría ser útil aquí, ver la página de wikipedia para una representación de la Plano de Fano .

Por ejemplo, si se le dieran puntos $3$ y $5$ . Entonces, observando la imagen se puede ver que la línea única que contiene $3$ y $5$ es $\{3,5,6\}$ y por lo tanto el tercer punto sería $6$ .