¿Cómo puedo demostrar el siguiente problema?
Si un cuadrilátero tiene lados de longitud $a$ , $b$ , $c$ y $d$ demostrar que su área $S$ satisface la siguiente desigualdad $$4S\leq (a+c)(b+d)$$ con la igualdad que se mantiene sólo para los rectángulos.
Pista: El doble del área de un triángulo es $a b \sin \alpha$ , donde $\alpha$ es el ángulo entre los lados de las longitudes $a$ , $b$ . Pero, ¿cómo lo utilizo?
Gracias de antemano.
Sugerencia
El triángulo con lados $a$ y $b$ tiene el área $$A=\frac{1}{2}ab\sin \alpha\leq\frac{1}{2}ab$$ con las expresiones iguales si y sólo si $\alpha=\frac{\pi}{2}$ . Haz lo mismo para cada par de lados y rotula estas áreas $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ y nota que $$ 2S=A_1+A_2+A_3+A_4$$ y $$ab+ad+cb+cd = (a+c)(b+d)$$
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