¿Qué es? $\int_c {e^{z^2}}(1/{z^2} - 1/{z^3})$ cuando c es el círculo unitario?

Question

Estoy seguro de que la integral es cero, pero no estoy seguro de la razón específica. ¿Es porque la función no tiene polos? (si es así, ¿cómo lo demuestro?) ¿O es porque cuando multiplicamos en cruz las fracciones, obtenemos un numerador cuya derivada es cero en z=0?

Answer 1

Tienes que calcular el residuo en $0$ es decir, el coeficiente de $1/z$ . Por supuesto, $$\frac{e^{z^2}}{z^2}=\frac1{z^2}+1+\frac{z^2}2+\cdots$$ y $$\frac{e^{z^2}}{z^3}=\frac1{z^3}+\frac{1}z+\frac{z}2+\cdots.$$ ¿Puedes ver lo que el residuo de $e^{z^2}(1/z^2-1/z^3)$ ¿es?