Cómo mostrar una función continua en $[0,1]$ ¿el intervalo es un espacio vectorial?

Question

Probando algunos problemas y el título lo dice todo,

Demuestre que un conjunto de funciones continuas sobre $[0,1]$ pertenece a un espacio vectorial

Nos han dicho que como la suma y multiplicación de vectores está definida como continua en el cálculo no hace falta definirla, pero atascado. ¿Podría alguien ayudarme? Gracias.

Answer 1

Sugerencia : $V$ con adición y multiplicación escalar definidas es un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ si:

1. $(V, +)$ es un grupo conmutativo
2. Para todos $\alpha, \beta\in\mathbb R$ y todos $v\in V$ , $$\alpha(\beta v) = (\alpha\beta)v$$
3. Para todos $v\in V$ , $1v = v$
4. Para todos $\alpha, \beta\in\mathbb R$ y todos $v\in V$ , $$(\alpha + \beta)v = \alpha v+\beta v$$
5. Para todos $\alpha\in\mathbb R$ y todos $v,w\in V$ , $$\alpha(v+w)=\alpha v + \alpha w.$$

Ve paso a paso. Demuestra cada punto individualmente, ninguno de ellos es particularmente difícil.

Answer 2

Su pregunta es confusa. ¿Qué conjunto? ¿Qué espacio vectorial? El conjunto de todas las funciones continuas sobre $[0,1]$ es un espacio vectorial: basta con verificar las propiedades de la definición de espacio vectorial. Para algún subconjunto $S$ de estos para formar un espacio vectorial, sólo hay que verificar que para cualquier $f$ y $g$ en $S$ y cualquier número real $c$ , $f+g$ y $cf$ están en $S$ .