la planicidad de un núcleo

Question

Hola, deja que $A$ un esquema abeliano sobre una curva $C$ y $n$ un entero mayor que 3 coprimo con la característica del campo de tierra. ¿Sabes por qué el núcleo de la multiplicación por $n$ es plana sobre $C$ . Gracias

Answer 1

Lema: si $R\to A\to B$ son homomorfismos locales de anillos locales completos con $A,B$ alisar formalmente $R$ de igual dimensión relativa $g$ y $A\to B$ finito, entonces $A\to B$ es plana. (Prueba por inducción en $g$ y tomando cocientes por elementos regulares, como en Matsumura, Commutative Ring Theory, p. 179).

Corolario: $[n]:A\to A$ la multiplicación por $n$ es plana.

Tomando el producto fibra de éste con la sección cero de $A$ responde a su pregunta.