¿Existen teorías consistentes de la RG en las que nuestro Universo esté inmerso en un espacio de mayor dimensión?

Question

En la RG tenemos un espacio métrico dado por la métrica $g^{\mu\nu}(x)$ . Esto nos permite determinar la curvatura $R^{\mu\nu}$ en cada punto del espacio-tiempo.

No es necesario que este colector curvo de 4D esté incrustado en algún espacio de mayor dimensión. Pero es perfectamente posible hacerlo. Los teoremas de incrustación de Nash y otros teoremas relacionados dicen que una variedad einsteiniana puede incrustarse en un espacio plano con suficientes dimensiones (probablemente siempre que esté simplemente conectada). Sea $\phi^N$ sean las coordenadas de algún espacio de mayor dimensión. En cuyo caso podríamos escribir la métrica como:

$$g_{\mu\nu}(x) = \sum_N \partial_\mu \phi^N(x) \partial_\nu \phi^N(x)$$

Dónde $N$ se sitúa por encima de un número suficientemente alto. Si volvemos a sustituir esto en las ecuaciones de la RG, nada cambiaría excepto que podríamos resolver $\phi^N$ (donde habría cierta libertad de elección).

Pero donde se volvería interesante es si los campos $\phi^N(x)$ eran observables por sí mismos. Por ejemplo, tenían una acción (aunque parece que la acción se anularía en cierto modo):

$$\sqrt{g} (g^{\mu \nu}(x) \partial_\mu \phi^N(x) \partial_\nu \phi^N(x) + m^2 \phi^N(x)\phi^N(x)) = \sqrt{g} (1 + m^2) \phi^N(x)\phi^N(x) $$

Aunque quizás habría mejores acciones para el $\phi$ campos tal vez si fueran no abelianos.

Pero de todos modos, he oído hablar de las ideas de que el Universo en el que vivimos es una membrana de 4 dimensiones en un espacio de dimensión superior, pero no sé si las matemáticas anteriores son la forma en que se realiza. La pregunta es: ¿existen teorías de la gravedad que describan la incrustación de la métrica en un espacio dimensional superior? ¿Y cuál sería la evidencia a favor o en contra de tal idea?

Answer 1

Desde el punto de vista filosófico, hay que preguntarse por la ontología del espacio dimensional superior en el que se inserta el universo einsteiniano. El mero hecho de que exista un teorema matemático que demuestre que dicha incrustación es no evidencia de cualquier realidad física de un espacio dimensional superior. Por eso fue tan importante para la física que los matemáticos desarrollaran una geometría intrínseca de los espacios curvos. De hecho, poco después de esa invención, William Clifford, físico y geómetra británico, declaró que la realidad no era otra cosa que la curvatura en el espaciotiempo, y esto cincuenta años antes de que Einstein pudiera tratar matemáticamente la visión de Clifford con su descubrimiento de la RG en 1915.

Nordstrom, el físico finlandés y rival de Einstein, fue pionero en la idea de los espacios de mayor dimensión, que luego recogieron Kaluza y Klien, y que es lo que se utiliza esencialmente en los modelos de geometría no conmutativa del universo y también en la teoría de cuerdas.

En cambio, lo que usted está pensando son cosmologías de mundo brana. Esto es propio de la teoría de cuerdas. En este caso, el universo está situado en una brana en un espacio dimensional superior y todas las fuerzas, excepto la gravedad, están también confinadas en la brana. Sin embargo, la gravedad se escapa al bulto y por eso es más débil que las otras fuerzas. Su motivación explicativa es que resuelve el problema de la jerarquía en la física -por qué todas las fuerzas tienen distinta fuerza- y también significa que la gravedad debería ser más fuerte de lo esperado en niveles microscópicos. Poner a prueba esta predicción será una tarea difícil, dado lo débil que es la gravedad. Así que es probable que siga siendo física especulativa durante bastante tiempo.

Incluso si la predicción fuera correcta, la cuestión filosófica de qué realidad debemos dar al espacio masivo de mayor dimensión seguirá planteándose. Es muy probable, dada la fértil inventiva de los físicos, que se plantee alguna otra interpretación del espacio masivo y se ponga de moda. Al fin y al cabo, incluso un siglo después del descubrimiento de la QM, seguimos discutiendo sobre la interpretación ontológica correcta de la QM, con al menos una veintena de ellas vigentes.

Personalmente, aunque algunas interpretaciones de los físicos no sean del todo física, están en la raíz de lo que es la física. Al fin y al cabo, la física comenzó como la pregunta de qué es la realidad física. Era una pregunta sobre sus dimensiones ontológicas. Pero dada la intratabilidad de estas cuestiones -desde el advenimiento de la QM- y los muchos métodos que tienen los físicos para hacer física, quizás no sea una sorpresa que hayan sido relegadas a la filosofía de la física. De hecho, no son más que física con otro nombre. Esto es especialmente evidente cuando se contrasta con otras preocupaciones filosóficas tradicionales - por ejemplo, la cuestión de la buena vida, tanto para un hombre como para una comunidad y las cuestiones de autoridad política - cuestiones que los "filósofos de la física" apenas tocan - y que deberían, especialmente desde que Eisenhowers advirtió del complejo industrial-militar - y en su mente, eso habría incluido la empresa científica y cuyo representante preeminente es la física.