¿Cómo se reduce la condición de desigualdad a esto?

Question

De la optimización convexa:

¿Cómo se reduce la condición del cuadro rojo a esto?

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Answer 1

Después de haber derivado la condición $\nabla f_0(x) \succeq 0$ , ya sabes $\nabla f_0(x)^T y \geq 0$ . Dado que la desigualdad debe cumplirse para todos los $y \succeq 0$ También tiene que ser así para el $y$ que alcanza el mínimo de $\nabla f_0(x)^T y $ : $y=0$ . Para $y=0$ se obtiene $-\nabla f_0(x)^Tx \geq 0$ .

Así que necesitas las tres condiciones: $x \succeq 0$ , $\nabla f_0(x) \succeq 0$ y $-\nabla f_0(x)^Tx \geq 0$ .

Answer 2

Piensa en la condición de optimalidad. Usted tiene un $ y \succeq 0$ hipótesis. Pero hay que comprobar $$ \nabla f_0(x)^T(y-x) \geq 0$$

Así que como $\succeq$ se entiende de entrada, esto significa que cada $y_i \geq 0$ y así $y_i - x_i \geq -x_i$ Así que $$ \nabla f_0(x)^T(y-x) \geq \nabla f_0(x)^T(-x) \: \: \forall y \succeq 0$$

$y\succeq 0$ incluye el caso $ y = 0$ para la cual la condición de optimalidad significa $\nabla f_0(x)^T(-x) \geq 0 $

¿Ves por qué es suficiente?

$$ \nabla f_0(x)^T(y-x) \geq \nabla f_0(x)^T(-x) \geq 0 $$

Answer 3

Me lo imaginé. Como es para todos $y$ no importa lo que $y$ que elijamos, así que sólo importa que $-()$ es positivo porque es una resta.