¿Son tensores Lorentz tensores?

Question

Puede sonar como una pregunta tonta, pero realmente tengo algunos problemas para entenderlo.

Cuando se definen campos tensoriales en una variedad dada $\mathcal{M}$, se encuentra la siguiente regla de transformación:

$${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).}$$

donde $(x^{1},\dots,x^{n})$ y $(\bar{x}^{1},\dots,\bar{x}^{n}) denotan cartas locales de la variedad. En física esto suele ser utilizado directamente como la definición de tensores.

Ahora, mi pregunta es: Un tensor de Lorentz se define como un objeto con algunos índices, que se transforman como un tensor bajo transformaciones de Lorentz: Por ejemplo,

$$F^{\mu^{\prime}\nu^{\prime}}(x^{\prime})={\Lambda^{\mu^{\prime}}}_{\mu}{\Lambda^{\nu^{\prime}}}_{\nu}F^{\mu\nu}(x)$$

donde $\Lambda$ cumple con $\Lambda^{T}\eta\Lambda=\eta$ con $\eta=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$ y donde la variedad subyacente es el espacio de Minkowski.

Según la definición de tensores, $F^{\mu\nu}$ tiene que tener esta ley de transformación para cada transformación de coordenadas, mientras que en la definición de tensores de Lorentz, $F^{\mu\nu}$ tiene que tener esta ley de transformación solo para este grupo especial de $\Lambda$....

Answer 1

Esta es una gran pregunta. Golpea en el corazón de qué variedad estamos considerando realmente. Para la física, la variedad real rara vez se aclara y a menudo solo vemos afirmaciones sobre cambios de coordenadas permitidos. Algo bastante especial sucede en el caso de la transformación de Lorentz: $$ x^{\mu'} = \Lambda^{\mu'}_{\mu}x^{\mu} $$ así que como $\Lambda$ es una matriz constante que resuelve $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$ cuando diferenciamos no hay dependencia de coordenadas para $\Lambda^{\mu'}_{\mu}$ y $$ \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\nu}} = \Lambda^{\mu'}_{\mu} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu}} = \Lambda^{\mu'}_{\mu} \delta^{\mu}_{\nu} = \Lambda^{\mu'}_{\nu} $$ Si el cambio de coordenadas se asemejara a la regla dada para las transformaciones de Lorentz $\Lambda$ estaba permitida una dependencia de coordenadas (reemplazaré $\Lambda$ con $A$ para mayor claridad de comparación) entonces: $$ \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\nu}} = \frac{ \partial A^{\mu'}_{\mu}}{\partial x^{\nu}}x^{\nu} + A^{\mu'}_{\nu} $$ por lo que no hay una relación agradable entre la regla para el cambio de coordenadas y la regla correspondiente para la transformación de derivadas parciales. Supongamos que $F$ es un tensor de Lorentz, me quedaré con rango uno ya que es suficiente, se nos da puntualmente que: $$ F^{\mu'} = A^{\mu'}_{\mu}F^{\mu}. $$ Seré $$ F^{\mu'} = \left( \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}} - \frac{ \partial A^{\mu'}_{\mu}}{\partial x^{\nu}}x^{\nu} \right)F^{\mu}. $$ No hay una manera agradable de eliminar el término derivado para obtener la ley tensorial general que deseas. Esto no es una prueba, y creo que para responder mejor a tu pregunta necesitaría divagar sobre dominios de cartas de coordenadas y la idea general de que un conjunto de puntos dado puede tener estructuras diferenciables inequivalentes. El concepto de variedad se puede especializar para tomar solo los cambios de coordenadas cuyas derivadas hacen que los cambios de coordenadas sean agradables. Probablemente la mejor forma de pensar sobre esto es con el haz de marcos y el concepto de subhaces asociados que limitan las transformaciones permitidas de las formas que nos interesan. También está la pregunta más amplia de Riemanniano vs. semi-Riemanniano. Eso es algo más de lo que necesitarías ser consciente para entender adecuadamente la pregunta que comienzas a hacer. Aun así, es una gran pregunta. Es la primera pregunta que le hice a mi asesor: "¿qué es un tensor?". Su respuesta: "¿qué tipo?". Eso es todo, hay muchos tipos de tensores dependiendo de qué estructura desees preservar. Lo dejaré así por ahora. La cena está lista.