$L^2$ Convergencia de series de variables aleatorias independientes normalmente distribuidas

Question

Dejemos que $(W_k)_{k \in \mathbb{Z}}$ sea una secuencia iid de $N(0,1)$ variables aleatorias y

$$X(f):=\sum_{k \in \mathbb{Z}}c_k(f)W_k, \ f \in L^2[-\pi, \pi]$$

con

$$c_k(f):=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}, \ k \in \mathbb{Z}$$

Intento demostrar que esta serie converge en $L^2(\Omega, \mathcal{F}, P)$ y buscando pistas. ¿Hay alguna forma "inteligente" o truco para mostrar esto? Realmente no sé cómo empezar.

También quiero determinar $E[X(f)]$ , $V[X(f)]$ y $Cov[X(f),X(g)]$ para $f,g \in L^2[-\pi, \pi]$

$E[X(f)]=\sum_{k \in \mathbb{Z}}c_k(f)E[W_k]=0$ .

$V[X(f)]=\sum_{k \in \mathbb{Z}}(c_k(f))^2V[W_k]=\sum_{k \in \mathbb{Z}}(c_k(f))^2$

$Cov[X(f),X(g)]$ =?

Answer 1

En el espacio de Hilbert $L^{2}(P)$ la familia $(W_k)$ es ortonormal. Por lo tanto, $\sum a_kW_k$ convergen sin $L^{2}(P)$ si $\sum |a_k|^{2} <\infty$ . En nuestro caso $\sum |c_f(k)|^{2} <\infty$ porque $f \in L^{2} ([-\pi,\pi])$ .