Cierre de una variedad cuasi-afín

Question

Según Hartshorne Geometría algebraica , un variedad afín es un subconjunto cerrado irreducible $X$ de $\mathbb{A}^n$ (en la topología de Zariski) y un variedad cuasi-afín es un subconjunto abierto de una variedad afín.

Esta es mi pregunta: dejemos $X$ es una variedad afín y $\emptyset\neq Y\subsetneq X$ un subconjunto abierto de $X$ . Es $\overline{Y}=X$ ¿es necesariamente cierto?

Utilizando el ejemplo $1.1.3$ del libro, he llegado a la conclusión de que $Y$ tiene que ser denso en $X$ Así que tengo la fuerte sensación de que la respuesta es sí. Los contraejemplos también parecen poco probables. Pero de todos modos, tengo problemas para formalizarlo.

Answer 1

Como ya se ha señalado en los comentarios, la respuesta a tu pregunta es no. He aquí un contraejemplo concreto: Tomemos como variedad afín irreducible en $\mathbb{C}^2$ el círculo dado por la ecuación $x^2+y^2-1=0$ y luego tomar simplemente el singleton $\{(0,1)\}$ . Es una variedad cuasi-afín, ya que es una variedad afín. Es cerrada en el interior del círculo, por lo que su cierre sigue siendo el singleton.

Si por el contrario su cuasi-variedad $Y$ está abierto en $X$ entonces es cierto que $\overline Y=X$ ya que todo subconjunto abierto no vacío de un conjunto irreducible es denso.