¿Cómo debo resolver una adición combinada como ésta?

Question

$${2\choose 2} {10\choose 3}+{3 \choose 2}{9 \choose 3}+{4 \choose 2}{8 \choose 3}+{5 \choose 2}{7 \choose 3}+{6 \choose 2}{6 \choose 3}+{7 \choose 2}{5 \choose 3}+{8 \choose 2}{4 \choose 3}+{9 \choose 2}{3 \choose 3}={13 \choose 6}$$

Se supone que debo obtener la respuesta ${13\choose 6}$ . Me pregunto si hay alguna fórmula para la adición de combinaciones como esta o hay algunos trucos para hacer esto?

Answer 1

Cuenta 6-subsets de $\{1,\dots,13\}$ condicionando el tercer elemento más pequeño $k$ que debe ser como mínimo 3 y como máximo 10. Por ejemplo, si $k=5$ entonces hay $\binom{4}{2}$ formas de elegir dos elementos menores de $\{1,\dots,4\}$ y $\binom{8}{3}$ maneras de elegir tres elementos más grandes de $\{6,\dots,13\}$ . Esta prueba combinatoria muestra que $$\sum_{k=3}^{10} \binom{k-1}{2}\binom{13-k}{3}=\binom{13}{6}.$$

En general, la identidad 137 en Pruebas que realmente cuentan es: $$\sum_{j=r}^{n+r-k} \binom{j-1}{r-1}\binom{n-j}{k-r}=\binom{n}{k},$$ y se da la misma prueba combinatoria.