Supongamos que tengo un sistema de 3 ecuaciones $$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=0$$ $$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=0$$ $$a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=0$$ y una matriz de coeficientes $A=\begin{equation} \begin{pmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{pmatrix} \end{equation}$ Entonces, se me ha dicho que la solución de esta matriz será no trivial si $|A|=0$ y trivial en cualquier otro caso. Hasta donde sé, una solución no trivial significa que la solución no es igual a cero, pero en cualquier caso $x, y, z=0$ satisfarán las ecuaciones dadas independientemente de su valor de determinante. Entonces, ¿por qué lo llamamos una solución "no trivial"?
El OP sabe esto. Pregunta por qué, en el caso $\det A \ne 0$, la solución nula se llama "no trivial", dado que es trivial. Bueno, la pregunta no tiene sentido y se basa en un mal uso de un término matemático.
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Dado que la solución cero es la solución "obvia", por lo tanto se llama solución trivial. Cualquier solución que tenga al menos un componente no nulo (haciéndola una solución no obvia) se denomina solución "no trivial".
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Si el determinante es cero, entonces, aparte de la solución trivial, habrá un número infinito de otras soluciones no triviales.
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Precisamente porque son diferentes de la solución trivial.