Pregunta sobre el uso de la desigualdad AGM para minimizar una función

Question

Me piden que minimice la siguiente función utilizando la desigualdad AGM:

$$y = 5x + \frac{4}{x} + 9, \text{ where } x > 0.$$

Para ello, he utilizado la desigualdad AGM para demostrar que

$$\frac{y}{3} = \frac{5x + 4/x + 9}{3} \ge \left( 5x \cdot \frac{4}{x} \cdot 9\right)^{1/3} = 180^{1/3},$$

y así $y \ge 3 \cdot 180^{1/3} \approx 16.9386$ . Sin embargo, esto es no la respuesta correcta. En cambio, se puede utilizar la desigualdad AGM para demostrar que

$$\frac{5x + 4/x}{2} \ge \sqrt{5x \cdot 4/x} = \sqrt{20},$$

lo que significa $5x + 4/x \ge 2 \sqrt{20}$ . De ello se desprende que $y = 5x + 4/x + 9 \ge 9 + 2 \sqrt{20} \approx 17.9443$ .

Mi pregunta es, ¿qué hay de malo en mi método original? No puedo ver mi error.

Answer 1

En la primera aplicación de la desigualdad AM-GM, recordemos que la igualdad se alcanza cuando todos los términos AM-GM son iguales. Sin embargo, no es posible que todos los $5x, \frac 4x$ y $9$ sean iguales para cualquier $x$ ya que al ser los dos primeros iguales, ambos son iguales a $\sqrt{20} \neq 9$ después de la multiplicación.

Se deduce que el AM-GM que has aplicado da un límite, pero no es el mejor . ¿Por qué? Porque si la igualdad nunca se alcanza, entonces el límite obtenido puede mejorarse, ¿no?

El segundo método, en cambio, es correcto porque en ese caso se está aplicando AM-GM teniendo en cuenta que para algunos $x$ la igualdad se alcanza . Eso sería, por supuesto, en $x = \sqrt{\frac 45}$ donde $\frac 4x = 5x$ . Así que el límite ahí, tiene que ser el mejor, simplemente porque el propio AM-GM da un valor de $x$ para el que la función da ese valor.

El $9$ no necesita ser factorizado en el AM-GM : es una constante, por lo que si estás encontrando el máximo simplemente viene como un sumando. En la maximización, recuerde que las constantes, tanto si se suman como si se multiplican con toda la expresión, pueden sacarse.