Ecuaciones de movimiento en base polar

Question

Una partícula de masa m se mueve bajo un campo de fuerza central

$ \mathbf{F}=-k\mathbf{r}$

donde k es una constante de dimensiones $ N m^{-1} $ . Suponiendo que la partícula se mueve en el plano ecuatorial ( $\theta=\frac{\pi}{2} $ ) escribir las ecuaciones de movimiento en la base polar:

$ \mathbf{e}_r = (\cos \phi, \sin\phi,0) $

$ \mathbf{e}_{\phi} = (-\sin\phi, \cos\phi,0) $

[Sugerencia: utilizar primero la variación de los vectores base { $ \mathbf{\dot e}_r, \mathbf{\dot e}_{\phi} $ } para una función arbitraria de t, y luego utilizar estos resultados para encontrar $ \mathbf{\ddot r}. $ ]

Por lo tanto, demuestre que $ h=r^2 \dot\phi $ es una cantidad conservada del movimiento, y escriba una ecuación de movimiento para $ r = |\bf r| $ . Su ecuación no debe contener $ \dot\phi $ .

Demuestre que las órbitas circulares ( $\dot r =\ddot r=0 $ ) están permitidos dentro de este potencial, y encontrar su frecuencia angular, $\dot\phi =\omega$ . Comenta tu resultado.

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Estoy muy perdido con esta cuestión, y me cuesta mucho saber por dónde empezar, toda ayuda es muy agradecida.

Answer 1

Tenemos $\vec r(t)=\hat e_r(t)r(t)$ . Por lo tanto, la primera velocidad, $\vec v(t)\equiv \dfrac{d\vec r(t)}{dt}$ viene dada por $$\vec v(t)=\hat e_r(t)r'(t)+\hat e_{\phi}(t)r(t)\phi'(t)$$ mientras que la aceleración $\vec a(t)\equiv \dfrac{d^2\vec r(t)}{dt^2}$ viene dada por $$\vec a(t)=\hat e_r(t)\large(r''(t)-r\phi'^2(t)\large)+2\hat e_{\phi}(t)\large(2r'(t)\phi'(t)+r(t)\phi''(t)\large)\tag 1$$

Utilizando $(1)$ tenemos la ecuación del movimiento de una partícula de masa $m$ bajo un potencial $U=\frac12 kr^2(t)$ se rige por las ecuaciones

$$mr''(t)-r\phi'^2(t)=-kr(t) \tag 2$$

y

$$m\large(2r'(t)\phi'(t)+r(t)\phi''(t)\large)=0 \tag 3$$

Resolver $(3)$ para $\phi'(t)$ revela que $\phi'(t)=h/r^2(t)$ para alguna constante de integración $h$ . En la medida en que $\phi'(t)r^2(t)$ es una constante, es una cantidad conservada como se iba a demostrar.

Ahora, utilizando este resultado en $(2)$ expone la EDO para $r(t)$ como

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{r''(t)+\dfrac{k}{m}r(t)-\dfrac{h^2}{r^3}=0}$$

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CASO ESPECIAL:

Para el caso especial de que $h=0$ tenemos $$\phi'(t)=0\implies \phi(t)=\phi(0)$$ y $$r''(t)+\dfrac{k}{m}r(t)=0$$ lo que implica que $$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{r(t)=r'(0)\sqrt{\dfrac{m}{k}}\sin \left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}\,t\right)+r(0)\cos \left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}\,t\right)}$$

Answer 2

Algo para interesarse, expresando la aceleración en coordenadas arbitrarias (ecuaciones de componentes donde el punto denota la derivada absoluta):

$$ \dot{v}^i = \frac {\partial v^i}{\partial t} + \Gamma^i_{jk}v^jv^k $$

La convención de suma de Einstein está implícita, y $\Gamma^i_{jk}$ son los símbolos de Christoffel para el sistema de coordenadas utilizado. Me parece útil utilizar este enfoque para derivar las ecuaciones de movimiento cuando se trata de sistemas de coordenadas extraños y maravillosos.